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calculer un produit

Posté par
aya4545 29-10-22 à 12:29

merci m orienter pour pour terminer cet exercice
calculer\prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{i\times j}
\prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{i\times j}=\prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{i}\times \prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{ j}
mais est ce que je peux dire
=\prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{i}\times \prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{ j}=\prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{i}\times \prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{ i}=\prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}i
et apres je bloque et merci

Posté par
carpediemre : calculer un produit 29-10-22 à 13:17

salut

peut-être reconnaitre une factorielle ...

Posté par
ty59847re : calculer un produit 29-10-22 à 13:18

  \prod_{i+j=n+1 , i\ge j \ge 1}\sqrt{i\times j}

n'est pas égal à

  \prod_{i+j=n+1 , i\ge j \ge 1}\sqrt{i} \times    \prod_{i+j=n+1 ,  i\ge j \ge 1}\sqrt{j}

Mais c'est égal à

\prod_{i+j=n+1 ,  i\ge j \ge 1}\sqrt{i} \times \sqrt{j}

Dans l'expression du milieu, le nombre de termes qu'on multiplie tous ensemble est ... exagéré.

De manière plus générale, un truc comme    

\prod_{i+j=n+1 , i\ge j \ge 1}\sqrt{i}    

avec j en indice, mais j n'intervient pas dans le calcul, c'est presque toujours faux.

Posté par
aya4545re : calculer un produit 29-10-22 à 14:17

merci carpediem  merci ty59847
est ce qu' on ne peut dire que

\prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{i\times j}=\prod_{1\leq j<i\leq 1}\sqrt{i}\times \sqrt{j}+\prod_{1\leq i<j\leq 1}\sqrt{i}\times \sqrt{j}+\prod_{i+j=n+1  i=j    i  \geq 1 j \geq 1}\sqrt i \times \sqrt j

Posté par
carpediemre : calculer un produit 29-10-22 à 14:37

ce que tu écris est encore faux ...

n est une constante

ensuite tu as deux variables d'indice i et j qui sont liées : i + j = n + 1

donc si i varie de 1 à n + 1 et j = ... alors j varie de ... à ...

Posté par
aya4545re : calculer un produit 29-10-22 à 14:38

pardon
\prod_{i+j=n+1  i\geq 1   j  \geq 1}\sqrt{i\times j}=\prod_{1\leq j<i\leq n}\sqrt{i}\times \sqrt{j}+\prod_{1\leq i<j\leq n}\sqrt{i}\times \sqrt{j}+\prod_{i+j=n+1  i=j    i  \geq 1 j \geq 1}\sqrt i \times \sqrt j

Posté par
carpediemre : calculer un produit 29-10-22 à 14:44

\prod_{i + j = n + 1} \sqrt {ij} = \prod_{i + j = n + 1} \sqrt i \sqrt {n + 1 - i} = \prod_1^{n + 1} \sqrt i \times \prod_1^{n + 1} \sqrt {n + 1 - j} = ...

Posté par
carpediemre : calculer un produit 29-10-22 à 14:45

damned : i à la place de j

Posté par
aya4545re : calculer un produit 29-10-22 à 14:49

merci carpediem

je pense que i varie de 1 à n   puisque i\geq 1 meme chose pour j

Posté par
aya4545re : calculer un produit 29-10-22 à 15:45

\prod_{i + j = n + 1} \sqrt {ij} = \prod_{i + j = n + 1} \sqrt i \sqrt {n + 1 - i} = \prod_1^{n } \sqrt i \times \prod_1^{j=n } \sqrt {n + 1 - j} = \prod_1^{i=n } \sqrt i \times \prod_1^{i=n } \sqrt {i}  =\prod_1^{n }  i =n!
merci  carpediem     ty59847

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calculer un produit 29-10-22 à 16:05

Rebonjour,
Maintenant que c'est terminé, je me permets deux conseils.
1) Les racines carrées sont encombrantes.

On peut s'en débarrasser en posant P_n = \prod_{i+j=n+1 i\geq 1 j \geq 1}\sqrt{i\times j}.

Puis Q_n = (P_n)^2 = \prod_{i+j=n+1 i\geq 1 j \geq 1}i\times j.
Et travailler sur Q_n.

2) Quand on est un peu perdu avec des ou des , écrire quelques valeurs peut être utile.
Ici, écrire Qn et Pn pour n = 4 ou 5 pouvait permettre d'y voir plus clair.

Posté par
aya4545re : calculer un produit 29-10-22 à 18:04

merci pour votre  accompagnement  et vos conseils et bonne journée

Posté par
Sylvieg Moderateurre : calculer un produit 29-10-22 à 18:25

De rien, et bonne fin de journée à toi aussi

Posté par
carpediemre : calculer un produit 29-10-22 à 20:01

de rien et à toi aussi

la première remarque de Sylvieg est pertinente : une petite transformation par des fonctions élémentaires permet de simplifier l'expression de départ ...

cependant il faut être attentif au retour en particulier avec une fonction du type la fonction carrée qui admet deux antécédents opposés

ici il est clair que P_n est positif

Posté par
ty59847re : calculer un produit 29-10-22 à 20:45

Je reviens sur la faute du début.
On avait une formule avec un symbole \Sigma

Tu as voulu réécrire cette formule avec 2 symboles \Sigma
C'est possible.

Essaie de trouver la bonne écriture.

Posté par
aya4545re : calculer un produit 29-10-22 à 23:08

bonsoir
merci ty59847 pour votre remarque
je pense que ce que j ai ecrit à 14h 38 est correcte

Posté par
ty59847re : calculer un produit 29-10-22 à 23:49

Oui, c'était correct. Mais je ne pensais pas à une somme, mais à un produit.
En fait, je n'ai pas relu l'énoncé, et j'avais en mémoire une autre contrainte sur i et j.

Et d'ailleurs dans mon premier message, j'avais mis (à tort)  i \ge j , et c'est cette contrainte que j'avais en tête.

Posté par
aya4545re : calculer un produit 30-10-22 à 08:46

bonjour
merci    ty59847    et bonne journée


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