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Calculer une somme (en appliquant le théorème d'Abel)

Posté par
yapper 28-06-18 à 10:20

Bonjour,

J'essaye de comprendre comment appliquer le théorème d'Abel afin d'obtenir : \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}

J'ai lu dans un document que cela pouvait être vu comme conséquent de ce théorème mais je vois pas comment.

On a d'après le thm : \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \lim_{x \to 1^-} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^n

Mais arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}

Je ne vois pas comment gérer le pb de x^n au lieu de x^{2n+1} pour conclure ensuite que c'est égal à \lim_{x \to 1} arctan(x) = arctan(1) = \pi / 4

Une explication ?

Posté par
pedestrere : Calculer une somme (en appliquant le théorème d'Abel) 28-06-18 à 11:27

Tu pourrais, peut-être, t'intéresser à     \arctan \sqrt x  ...

Posté par
yapperre : Calculer une somme (en appliquant le théorème d'Abel) 28-06-18 à 12:19

Merci pedestre pour ta réponse!

On a bien le résultat souhaité sauf erreur :

Dans le Gourdon, on trouve :
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \lim_{x \to 1^-} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^n = \lim_{x \to 1^-} arctan x = arctan 1

On devrait donc plutôt écrire (si on voulait détailler) :
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \lim_{x \to 1^-} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^n = \lim_{x \to 1^-} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \frac{\sqrt{x}^{2n+1}}{\sqrt{x}} = \lim_{x \to 1^-} \frac{arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}= \frac{arctan 1}{1}

C'est bien ça ?


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