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Calculs de probabilités : utilisation de la loi binomiale ?
Posté par gthe
Bonjour,
Cette question pourrait s'apparenter à un niveau "Terminale S", mais je suis un peu rouillé en probabilités.
Elle ne se positionne pas sur un contexte scolaire, mais je me permets de la poster dans un tel forum car elle peut intéresser les élèves.
Ne connaissant pas l'arbitrage de la ligne éditoriale dans ce cas-ci, vous pouvez déplacer le sujet si besoin.
Je sais que la probabilité qu'un évènement se produise est appelée p(G).
Imaginons que je dois réaliser 3 épreuves indépendantes qui ont une probabilité p(G) de se produire, alors la probabilité de réussir 3 fois de suite est de .
En réalité, j'ai 5 essais pour réussir ces épreuves.
La probabilité de réussir ces 3 épreuves d'affilée sur au moins un des 5 essais est donc de :
Je me posais la question la suivante : comment calculer la probabilité de réussir ces 3 épreuves d'affilée en exactement 1 essai ? en exactement 2 essais ? en exactement 3 essais ? en exactement 4 essais ? en exactement 5 essais ?
En effet, le nombre d'essais réalisé pour parvenir à la réussite des 3 épreuves consécutives fait varier le gain associé. Une fois que je connaîtrais la donnée questionnée, il me suffira de faire une sommation des produits des probabilités par les gains (ou pertes potentielles) pour en tirer une espérance mathématique.
En vous remerciant, parce que je sèche !
Attendez, je crois avoir connecté mes neurones :
La probabilité de réussir ces 3 épreuves d'affilées sur exactement
essais ne serait pas égale à :
Je tente 
Pour confirmation svp,
Vous remerciant
Bonjour,
Je passerai plutôt par un arbre de décision à cinq niveaux qui permet de comptabiliser exactement toutes les configurations possibles pour réussir 3 essais simultanés parmi 5.
Bonjour,
3 essais simultanés parmi 5 donnent 10 combinaisons du coup ? (3 parmi 5). Je ne vois pas comment utiliser cette information.
Comment je pourrais lier cette information avec Je me posais la probabilité de réussir ces 3 épreuves d'affilée en exactement 1 essai ? en exactement 2 essais ? en exactement 3 essais ? en exactement 4 essais ? en exactement 5 essais ? (sachant que 5 essais est le maximum)
Du coup mon post du dessus est complètement faux !
Merci 
Est-ce que le résultat que je cherche ne serait tout simplement quelque chose du style :
avec p la probabilité (p(G)) et q la probabilité (1-(p(G)), k le nombre d'essais exacts considéré et n le nombre d'essais total dont je dispose ?
(désolé pour la latex, mais je n'ai pas trouvé la syntaxe exact pour exprimer un chiffre au-dessus de l'autre, même avec le bouton LTX fléché rouge)
Il faut construire les branches progressivement, en ne finalisant que celles qui ont trois réussites simultanées.
Encore plus rapide, tu peux aussi le faire à la main, S = succès, E = Echec :
SSSEE
ESSSE
EESSS
Donc 3 cas positifs possibles
Après, il faut pondérer les S par p(G), et les E par (1-p(G)), disons p et 1-p
Une configuration gagnante a donc une probabilité de p3(1-p)2
Il y en a 3, et elles sont disjointes donc au total 3p3(1-p)2
J'espère que je n'ai pas raconté trop de bêtises, c'est tellement vite fait en probabilités 
Je me suis bien mal exprimé du coup
Désolé, j'ai le problème dans le guidon depuis quelques jours, et les seuls moments où je peux y accorder de l'attention, j'ai mon cerveau en compote avec mon boulot.
En fait, ce n'est pas (exactement) ça que je souhaite calculer
La probabilité de gagner un pari est de p(G) et on peut la noter "G"
La probabilité de perdre un pari est de p(P) = 1 - p(G) et on peut la noter "P"
J'ai n essais pour réussir 3 paris d'affilée.
Mon objectif est de calculer la probabilité exacte de gagner ces 3 paris d'affilée en n essais, n-1 essais, n-2 essais, ..., 1 essai.
Voici toutes les possibilités pour 3 paris consécutifs :
si je perds => P... et j'ai plus que n-1 essais pour gagner 3 fois d'affilée
si je gagne mais que je perds en suite => GP et j'ai plus que n-1 essais pour gagner 3 fois d'affilée.
J'ai donc aussi "GGP" et "GGG".
La seule configuration qui me fait gagner est "GGG".
Un essai n'est pas un "pari" mais un succession de paris pouvant être "P", "GP", "GGP" ou "GGG". Seul "GGG" me fait atteindre l'objectif.
Je possède donc les configurations suivantes (en notant 1="P" , 2="GP" , 3="GGP" et 4 ="GGG"), que j'ai générées avec une macro :
1 1 1 1 1
1 1 1 1 2
1 1 1 1 3
1 1 1 2 1
1 1 1 2 2
1 1 1 2 3
1 1 1 3 1
1 1 1 3 2
1 1 1 3 3
1 1 2 1 1
1 1 2 1 2
1 1 2 1 3
1 1 2 2 1
1 1 2 2 2
1 1 2 2 3
1 1 2 3 1
1 1 2 3 2
1 1 2 3 3
1 1 3 1 1
1 1 3 1 2
1 1 3 1 3
1 1 3 2 1
1 1 3 2 2
1 1 3 2 3
1 1 3 3 1
1 1 3 3 2
1 1 3 3 3
1 2 1 1 1
1 2 1 1 2
1 2 1 1 3
1 2 1 2 1
1 2 1 2 2
1 2 1 2 3
1 2 1 3 1
1 2 1 3 2
1 2 1 3 3
1 2 2 1 1
1 2 2 1 2
1 2 2 1 3
1 2 2 2 1
1 2 2 2 2
1 2 2 2 3
1 2 2 3 1
1 2 2 3 2
1 2 2 3 3
1 2 3 1 1
1 2 3 1 2
1 2 3 1 3
1 2 3 2 1
1 2 3 2 2
1 2 3 2 3
1 2 3 3 1
1 2 3 3 2
1 2 3 3 3
1 3 1 1 1
1 3 1 1 2
1 3 1 1 3
1 3 1 2 1
1 3 1 2 2
1 3 1 2 3
1 3 1 3 1
1 3 1 3 2
1 3 1 3 3
1 3 2 1 1
1 3 2 1 2
1 3 2 1 3
1 3 2 2 1
1 3 2 2 2
1 3 2 2 3
1 3 2 3 1
1 3 2 3 2
1 3 2 3 3
1 3 3 1 1
1 3 3 1 2
1 3 3 1 3
1 3 3 2 1
1 3 3 2 2
1 3 3 2 3
1 3 3 3 1
1 3 3 3 2
1 3 3 3 3
2 1 1 1 1
2 1 1 1 2
2 1 1 1 3
2 1 1 2 1
2 1 1 2 2
2 1 1 2 3
2 1 1 3 1
2 1 1 3 2
2 1 1 3 3
2 1 2 1 1
2 1 2 1 2
2 1 2 1 3
2 1 2 2 1
2 1 2 2 2
2 1 2 2 3
2 1 2 3 1
2 1 2 3 2
2 1 2 3 3
2 1 3 1 1
2 1 3 1 2
2 1 3 1 3
2 1 3 2 1
2 1 3 2 2
2 1 3 2 3
2 1 3 3 1
2 1 3 3 2
2 1 3 3 3
2 2 1 1 1
2 2 1 1 2
2 2 1 1 3
2 2 1 2 1
2 2 1 2 2
2 2 1 2 3
2 2 1 3 1
2 2 1 3 2
2 2 1 3 3
2 2 2 1 1
2 2 2 1 2
2 2 2 1 3
2 2 2 2 1
2 2 2 2 2
2 2 2 2 3
2 2 2 3 1
2 2 2 3 2
2 2 2 3 3
2 2 3 1 1
2 2 3 1 2
2 2 3 1 3
2 2 3 2 1
2 2 3 2 2
2 2 3 2 3
2 2 3 3 1
2 2 3 3 2
2 2 3 3 3
2 3 1 1 1
2 3 1 1 2
2 3 1 1 3
2 3 1 2 1
2 3 1 2 2
2 3 1 2 3
2 3 1 3 1
2 3 1 3 2
2 3 1 3 3
2 3 2 1 1
2 3 2 1 2
2 3 2 1 3
2 3 2 2 1
2 3 2 2 2
2 3 2 2 3
2 3 2 3 1
2 3 2 3 2
2 3 2 3 3
2 3 3 1 1
2 3 3 1 2
2 3 3 1 3
2 3 3 2 1
2 3 3 2 2
2 3 3 2 3
2 3 3 3 1
2 3 3 3 2
2 3 3 3 3
3 1 1 1 1
3 1 1 1 2
3 1 1 1 3
3 1 1 2 1
3 1 1 2 2
3 1 1 2 3
3 1 1 3 1
3 1 1 3 2
3 1 1 3 3
3 1 2 1 1
3 1 2 1 2
3 1 2 1 3
3 1 2 2 1
3 1 2 2 2
3 1 2 2 3
3 1 2 3 1
3 1 2 3 2
3 1 2 3 3
3 1 3 1 1
3 1 3 1 2
3 1 3 1 3
3 1 3 2 1
3 1 3 2 2
3 1 3 2 3
3 1 3 3 1
3 1 3 3 2
3 1 3 3 3
3 2 1 1 1
3 2 1 1 2
3 2 1 1 3
3 2 1 2 1
3 2 1 2 2
3 2 1 2 3
3 2 1 3 1
3 2 1 3 2
3 2 1 3 3
3 2 2 1 1
3 2 2 1 2
3 2 2 1 3
3 2 2 2 1
3 2 2 2 2
3 2 2 2 3
3 2 2 3 1
3 2 2 3 2
3 2 2 3 3
3 2 3 1 1
3 2 3 1 2
3 2 3 1 3
3 2 3 2 1
3 2 3 2 2
3 2 3 2 3
3 2 3 3 1
3 2 3 3 2
3 2 3 3 3
3 3 1 1 1
3 3 1 1 2
3 3 1 1 3
3 3 1 2 1
3 3 1 2 2
3 3 1 2 3
3 3 1 3 1
3 3 1 3 2
3 3 1 3 3
3 3 2 1 1
3 3 2 1 2
3 3 2 1 3
3 3 2 2 1
3 3 2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 3 1
3 3 2 3 2
3 3 2 3 3
3 3 3 1 1
3 3 3 1 2
3 3 3 1 3
3 3 3 2 1
3 3 3 2 2
3 3 3 2 3
3 3 3 3 1
3 3 3 3 2
3 3 3 3 3
1 1 1 1 4
1 1 1 2 4
1 1 1 3 4
1 1 1 4
1 1 2 1 4
1 1 2 2 4
1 1 2 3 4
1 1 2 4
1 1 3 1 4
1 1 3 2 4
1 1 3 3 4
1 1 3 4
1 1 4
1 2 1 1 4
1 2 1 2 4
1 2 1 3 4
1 2 1 4
1 2 2 1 4
1 2 2 2 4
1 2 2 3 4
1 2 2 4
1 2 3 1 4
1 2 3 2 4
1 2 3 3 4
1 2 3 4
1 2 4
1 3 1 1 4
1 3 1 2 4
1 3 1 3 4
1 3 1 4
1 3 2 1 4
1 3 2 2 4
1 3 2 3 4
1 3 2 4
1 3 3 1 4
1 3 3 2 4
1 3 3 3 4
1 3 3 4
1 3 4
1 4
2 1 1 1 4
2 1 1 2 4
2 1 1 3 4
2 1 1 4
2 1 2 1 4
2 1 2 2 4
2 1 2 3 4
2 1 2 4
2 1 3 1 4
2 1 3 2 4
2 1 3 3 4
2 1 3 4
2 1 4
2 2 1 1 4
2 2 1 2 4
2 2 1 3 4
2 2 1 4
2 2 2 1 4
2 2 2 2 4
2 2 2 3 4
2 2 2 4
2 2 3 1 4
2 2 3 2 4
2 2 3 3 4
2 2 3 4
2 2 4
2 3 1 1 4
2 3 1 2 4
2 3 1 3 4
2 3 1 4
2 3 2 1 4
2 3 2 2 4
2 3 2 3 4
2 3 2 4
2 3 3 1 4
2 3 3 2 4
2 3 3 3 4
2 3 3 4
2 3 4
2 4
3 1 1 1 4
3 1 1 2 4
3 1 1 3 4
3 1 1 4
3 1 2 1 4
3 1 2 2 4
3 1 2 3 4
3 1 2 4
3 1 3 1 4
3 1 3 2 4
3 1 3 3 4
3 1 3 4
3 1 4
3 2 1 1 4
3 2 1 2 4
3 2 1 3 4
3 2 1 4
3 2 2 1 4
3 2 2 2 4
3 2 2 3 4
3 2 2 4
3 2 3 1 4
3 2 3 2 4
3 2 3 3 4
3 2 3 4
3 2 4
3 3 1 1 4
3 3 1 2 4
3 3 1 3 4
3 3 1 4
3 3 2 1 4
3 3 2 2 4
3 3 2 3 4
3 3 2 4
3 3 3 1 4
3 3 3 2 4
3 3 3 3 4
3 3 3 4
3 3 4
3 4
4
Seules les combinaisons finissant par un "4" me font gagner.
Là de ce que je vois :
il y a 1 combinaison qui donne un succès "en 1 essai",
il y a 3 combinaisons qui donnent un succès "en 2 essais",
il y a 9 combinaisons qui donnent un succès "en 3 essais",
il y a 27 combinaisons qui donnent un succès "en 4 essais",
il y a 81 combinaisons qui donnent un succès "en 5 essais".
Ca ressemble à une suite géométrique de raison 3.
Ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est comment généraliser tout cela, c'est à dire réaliser le calcul de la probabilité de réussir E paris consécutifs en n essais exactement, au sens où je l'ai défini
Nota pour le post d'au-dessus : chaque colonne représente un "essai" et chaque nombre représente la configuration du pari (P, GP, GGP et GGG ; les autres cas n'étant pas étudiés car perdre revient automatiquement à recommencer l'essai suivant puisque seul "gagner 3 fois de suite" me fait réussir l'essai).
Pour répondre au sujet, voilà ce que je trouve en remplaçant p(G) par 0,33333 (donc p(P) = 0,66667). Je prends ces valeurs car elles sont standards dans mon domaine.
Ce qui donne, en remplaçant "1" par p(P), "2" par p(G)*p(P), "3" par p(G)*p(G)*p(P) et "4" par p(G)*p(G)*p(G) :
une probabilité de (pour n essais exactement) :
n p
1 0,037
2 0,035631
3 0,034312653
4 0,033043085
5 0,031820491
(Somme des probabilités ci-dessus = 0,1718)
Et la probabilité de réussir au moins 3 paris d'affilée en 5 essais [cf. mon premier post] telle que définie est de : 1-((1 - p(G)^3)^5) = 0,1720
Ce qui "ressemble bien" (aux arrondis près dans les deux calculs) à la somme ci-dessus, donc c'est juste.
Ma véritable question c'était : comment obtenir ces probabilités en gras sans avoir à refaire tout un Excel comme je viens de le faire ?
J'ai trouvé !
Il aura fallu que je dénombre les combinaisons mais l'intuition du début était bonne (juste qu'il fallait que je sois rigoureux !)
Si je dispose de n essais pour réussir E paris consécutifs (et que je dois recommencer ma série en cas de perte) :
Soit, en comptabilisant le nombre d'erreurs (ou essais ratés) :
Calculs avec :
p(G) = 0,3333 et E = 3 (exemple ci-dessus) et n = 5 :
on trouve,
pour 1 essai soit 0 erreur () = 0,3333^3 * ((1-0,3333^3))^0 = 0,0370
pour 2 essai soit 1 erreurs () = 0,3333^3*((1-0,3333^3))^1 = 0,0356
pour 3 essai soit 2 erreurs () = 0,3333^3*((1-0,3333^3))^2 = 0,0343
pour 4 essai soit 3 erreurs () = 0,3333^3*((1-0,3333^3))^3 = 0,0331
pour 5 essai soit 4 erreurs () = 0,3333^3*((1-0,3333^3))^4 = 0,0318
C'est tout à fait normal qu'on ne trouve pas exactement les mêmes résultats vu les chiffres significatifs que j'avais obtenu sur Excel !
Je considère le sujet résolu, merci LeHibou, tu m'as orienté dans la bonne direction