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Calculs de sommes

Posté par
cindyy 14-09-13 à 16:21

Bonjour,

Pouvez-vous m'aider pour un exercice de calculs de sommes :

Tn= \sum_{k=0}^{n^2} Ent(k/n)

J'ai essayé de séparer les deux sommes en deux :

\sum_{k=0}^{n} Ent(k/n) + \sum_{k=n+1}^{n^2} Ent(k/n)

Puis j'ai voulu ré-indicer (ou ré-encoder) en posant i=k-n dans la deuxième somme.
Donc, i=k-n k=i-n
Si k=n+1 alors i=1
Si k=n^2 alors i=n(n-1)

D'où : \sum_{k=0}^{n} Ent(k/n) + \sum_{i=1}^{n(n-1)} Ent(k/n)

après divers calculs, je retombe toujours sur (n3-4n2+4n)/2 ce qui semble faux . Je ne sais pas si mon ré-indicage est faux, ou juste mon calcul.

Aussi, je ne sais pas du tout comment m'y prendre pour Rn= \sum_{1\le i,j\le n} |i-j|

Merci d'avance.

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes 14-09-13 à 16:44

Bonjour,

Pour 0\leq k<n, les termes de la somme sont nuls.

Pour les termes suivants,tu pourrais décomposer la somme sur les intervalles [n;2n-1]; [2n;3n-1],\cdots [(n-1)n;n^2-1]

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes 14-09-13 à 16:47

Citation :
après divers calculs, je retombe toujours sur (n3-4n2+4n)/2 ce qui semble faux


Je crois bien, oui; j' obtiens \dfrac{n(n^2-n+2)}{2}

Posté par
veledare : Calculs de sommes 14-09-13 à 16:59

bonjour,
il s'agit bien de la partie entière de  k/n ?
en utilisant que pour p entier naturel1  sur [(p-1)n;pn-1[ E(\frac{k}{n})=p-1 je trouve que la somme est égale àn\frac{n^2-n+2}{2} sauf étourderie de ma part

Posté par
veledare : Calculs de sommes 14-09-13 à 17:00

bonjour cailloux, nous sommes d'accord

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes 14-09-13 à 17:03

Bonjour veleda

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes 14-09-13 à 17:24

J' obtiens:

\Sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j|=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{3}

Mais ma solution est "foireuse"; j' en cherche une meilleure...

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes 14-09-13 à 17:43

On peut écrire:

\Sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j|=2\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=i}^nj-i\right)

\Sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j|=2\sum_{i=1}^n\left(\sum_{k=1}^{n-i}k\right)

\Sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j|=2\sum_{i=1}^n\dfrac{(n-i)(n-i+1)}{2}

\Sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j|=\sum_{i=1}^n(n-i)^2+\sum_{i=1}^nn-i=\sum_{k=1}^{n-1}k^2+\sum_{k=1}^{n-1}k

\Sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j|=\dfrac{(n-1)n(2n-1)}{6}+\dfrac{n(n-1)}{2}

\Sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j|=\dfrac{n(n-1)(n+1)}{3}

Posté par
cindyyre : Calculs de sommes 15-09-13 à 11:22

Bonjour,  

Citation :
Pour les termes suivants,tu pourrais décomposer la somme sur les intervalles [n;2n-1]; [2n;3n-1],\cdots [(n-1)n;n^2-1]


J'ai compris que \sum_{k=n}^{2n-1}\Ent(k/n)=1  à chaque fois, que \sum_{k=2n}^{3n-1}\Ent(k/n)=2 et ainsi de suite mais je ne vois pas pourquoi il faut décomposer la somme comme ça. De plus, l'intervalle s'arrête à n(n-1), dois-je isoler le terme n^2 pour obtenir tous les termes ?

Citation :
il s'agit bien de la partie entière de  k/n ?


Oui c'est bien ça, je n'ai pas pu trouvé la notation sur le site.

Citation :
je trouve que la somme est égale \frac{n(n^2-n+2)}{2} sauf étourderie de ma part


Je trouve désespérement \frac{n^3+1}{2} même en ré-indiçant.

Citation :
On peut écrire: \Sum_{1\leq i,j\leq n}|i-j|=2\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=i}^nj-i\right)


Pourquoi avez-vous factorisé par 2?

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes 15-09-13 à 12:02

Citation :
Pourquoi avez-vous factorisé par 2?


Si tu écris tous les termes |i-j| sous la forme d' un tableau n lignes et n colonnes:

\begin{array}{cccccccc} \\ 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-3 & n-2 & n-1 \\ \\ 1 & 0 & 1 & 2 & \cdots & n-4 & n-3 & n-2 \\ \\ 2 & 1 & 0 & 1 & \cdots & n-5 &n-4 & n-3 \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots &\vdots \\ \\ n-3 & n-4 & n-5 & n-6 & \cdots & 0 & 1 & 2 \\ \\ n-2 & n-3 & n-4 & n-5 & \cdots & 1 & 0 & 1 \\ \\ n-1 & n-2 & n-3 & n-4 & \cdots & 2 & 1 & 0 \\ \end{array}

Tu vois apparaître une grande diagonale de 0 et, de part et d' autre de cette diagonale, les mêmes termes qui sont donc à prendre en compte deux fois.

Au reste, il existe certainement une méthode plus élégante que celle de 17h43...

Citation :
dois-je isoler le terme n^2 pour obtenir tous les termes ?


Ah oui! il est tout seul mais il ne faut pas l' oublier.

Citation :
Je trouve désespérement \frac{n^3+1}{2} même en ré-indiçant.


Pour te corriger, il faudrait qu' on voie tes calculs...

Posté par
cindyyre : Calculs de sommes 15-09-13 à 12:32

Citation :
Tu vois apparaître une grande diagonale de 0 et, de part et d' autre de cette diagonale, les mêmes termes qui sont donc à prendre en compte deux fois.


Ah oui, ça semble plus logique. J'ai bien compris la démarche pour cette somme, merci.

Citation :
Pour te corriger, il faudrait qu' on voie tes calculs...


Bien sûr, voilà ce que j'ai écris :

Tn=\sum_{k=0}^{n-1}\ Ent(k/n) + \sum_{k=n}^{n^2}\ Ent(k/n)
La premiere somme étant nulle, je calcule que la deuxième. Je ré-indice pour chercher à commencer à k=0

Je pose i=k-n k=i+n
Si k=n, i=0
Si k=n2, i= n(n-1)

Donc: Tn=\sum_{i=0}^{n(n-1)}\ Ent\frac{(i+n)}{(n)}
D'après la formule, on a :

= \frac{(n(n-1)+1)(n+1)}{2}
= \frac{(n^2-n+1)(n+1)}{2}
= \frac{n^3+n^2-n^2-n+n+1}{2}
= \frac{n^3+1}{2}

Voilà :s

Posté par
veledare : Calculs de sommes 15-09-13 à 13:10

*pour répondre à ton post de11h22 relative au premier exercice ui avec cette methode il faut traiter à part n²

*dans ton dernier post 'après la formule  ? quelle formule?

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes 15-09-13 à 13:28

Citation :
Tn=\sum_{k=0}^{n-1}\ Ent(k/n) + \sum_{k=n}^{n^2}\ Ent(k/n)
La premiere somme étant nulle, je calcule que la deuxième.


Très bien.

Citation :
Donc: Tn=\sum_{i=0}^{n(n-1)}\ Ent\frac{(i+n)}{(n)}


Encore vrai mais après, ça se gâte:

Citation :
D'après la formule, on a :

= \frac{(n(n-1)+1)(n+1)}{2}


Pas du tout, tout dépend des valeurs prises par i:

Si 0\leq i <n, n\leq n+i<2n, 1\leq \dfrac{n+i}{n}<2 et E\left(\dfrac{n+i}{n}\right)=1

Si n\leq i <2n, 2n\leq n+i<3n, 2\leq \dfrac{n+i}{n}<3 et E\left(\dfrac{n+i}{n}\right)=2

Si \cdots

Mais il est inutile de faire une réindexation comme tu l' as fait, on peut partir directement de:

T_n\sum_{k=n}^{n^2}\ Ent(k/n)

et transformer cette somme en la découpant sur les intervalles:

[n;2n-1[
[2n;3n-1[
\vdots
[(n-1)n;n^2-1[

sans oublier le dernier terme pour i=n^2



Posté par
cindyyre : Calculs de sommes 15-09-13 à 13:31

Citation :
*dans ton dernier post 'après la formule  ? quelle formule?


Celle qui dit que :

\sum_{k=m}^n\ k = \frac{(m+n)(n-m+1)}{2} non ?

Posté par
cindyyre : Calculs de sommes 15-09-13 à 21:54

Merci beaucoup pour votre temps cailloux, j'ai bien compris désormais!

Posté par
cailloux Correcteurre : Calculs de sommes 15-09-13 à 23:00

De rien pour moi cindyy mais veleda n' a pas démérité...


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