Inscription / Connexion Nouveau Sujet
[Capes Leçon 21] - polynômes du 2nd degré
Bonjour,
Je prépare cette leçon de Capes, et je voudrais avoir quelques infos :
Je sais qu'en seconde, on voit les variations de la fonction x --> x², mais voit-on les variations de la fonction x --> a.x², où a est réel ? ( j'ai pas trouvé cette info dans les programmes )
et comment montre-t-on les variations de ces fonctions en seconde, sachant qu'il ne connaissent pas la dérivée ?
Merci de vos réponses, et à bientot
Nicoco
Bonjour,
déjà c'est assez simple de remarquer que les variations de
x->ax² sont les mêmes que celles de x->x² si a>0 et qu'elles sont inversées sinon, et même en seconde.
Donc il suffit de considérer celles de f définie sur R par x->x² pour toutes les trouver.
Ensuite, on voit facilement ici que f est paire et que donc une étude sur R+ suffit.
Ensuite pour x et y positifs, x>y implique que
x²>xy et yx>y² donc x²>y².
Ca se fait très facilement en seconde et sans dérivée.
Il faut bien comprendre que la dérivée est un outil et que ce n'est pas la façon d'obtenir les variations de la fonction. Notamment, il arrive qu'il soit plus facile d'obtenir les variations par la méthode élémentaire (revenir à la définition), plutôt que par la dérivation. Si le signe de la dérivée donne les variations, il faut bien comprendre que c'est parce que l'on a tout fait pour, mais ce n'est pas une méthode qui doit remplacer les autres.
A+
Bonjour 
Pour Compléter ce que dit Otto , rappellons tout de même que ce n'est pas une formule magique qui nous dit que si la dérivée est positive alors la fonction est croissante et si la dérivée est négative la fonction est décroissante.
Ce qui permet de justifier cela , c'est un théoréme bien connue qui est le théorème des accroissements finis.
Et ce théorème lui , revient bien à la définition même du sens de variation.
En effet, voici l'énoncé du théorème que vous devez connaître:
Soient
Or , si sur ]a;b[ la dérivée est positive , alors f'(c) est positive.
Comme b-a l'est aussi , le produit est positive , donc
C'est dommage que l'on "balance" aux éléves l'analogie entre la dérivée et le sens de variation sans même leur expliquer d'où elle vient.
Jord
Merci beaucoup pour vos infos ! 
J'avais bien compris que le lien dérivée-sens de variation venait du TAF, mais c'est vrai qu'il est dommage de pas l'expliquer aux élèves !
Merci encore !
J'ajoute qu'en première il est intéressant de montrer les allures de courbes en fonction du signe de a de ax²+bx+c quand on enseigne le discrimiant.
Voila voila
Pour les variations de x --> ax² sans utiliser formellement les dérivées.
f(x) = ax²
Soit A < B
f(A) = a.A²
f(B) = a.B²
f(A) - f(B) = a.A² - a.B²
f(A) - f(B) = a.(A² - B²)
f(A) - f(B) = a.(A-B)(A+B)
a)
Si 0 < A < B
A-B < 0 et A+B > 0
-> f(A) - f(B) est du signe opposé à a
a1)
Pour x dans ]0 ; oo[, si a < 0, on a f(A) - f(B) > 0
Soit f(B) < f(A) et donc f(x) est décroissante pour x dans [0 ; oo[
a2)
Pour x dans ]0 ; oo[, si a > 0, on a f(A) - f(B) < 0
Soit f(B) > f(A) et donc f(x) est croissante pour x dans [0 ; oo[
b)
Si A < B < 0
A-B < 0 et A+B < 0
-> f(A) - f(B) est du signe de a.
b1)
Pour x dans ]-oo ; 0[, si a < 0, on a f(A) - f(B) < 0
Soit f(B) > f(A) et donc f(x) est croissante pour x dans [-oo ; 0[
b2)
Pour x dans ]-oo ; 0[, si a > 0, on a f(A) - f(B) > 0
Soit f(B) < f(A) et donc f(x) est décroissante pour x dans [-oo ; 0[
-----
Sauf distraction.
Annuler
connectez vous
analyse en Bts