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Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 13-11-18 à 19:39

Mousse j'ai compris c'est juste la formule du changement de base, mais du coup vous utilisez le fait que (e_1 ' ,e_2 ') est une base de \R^2 sans l'avoir démontré ... Puis vous démontrez pas l'unicité...

Ma méthode n'utilise pas ce résultat et j'ai démontré l'unicité en 1 ligne  

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 13-11-18 à 21:11

En fait j'ai pas compris d'où sort le : A[X]_{(e')}=[X]_{(e)}

D'après quelle équation on trouve la matrice de passage de (e_1 , e_2) à (e_1 ' , e_2 ') ?

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 13:39

J'ai fini la partie A.

Je bloque sur le début de la partie B.

Soit f : \R^2 \longrightarrow \R^2 une application linéaire. Sa matrice dans la base C=(e_1 , e_2) de \R^2 est notée A.

J'ai écrit :  A =\left[ {\begin{array}{cc} \\    a_1 & a_2 \\ \\    b_1 & b_2 \\ \\   \end{array} } \right]

Donc f(e_1) = a_1 e_1 + b_1 e_2 et f(e_2)= a_2 e_1 + b_2 e_2

1/ Montrer que f(\Z^2) \subset \Z^2 si et seulement si tous les entiers sont relatifs.

J'ai réussi.

On suppose dans cette question que f(\Z^2) = \Z^2

2/ Montrer que \Imf contient 2 vecteurs linéairement indépendants.
3/ En déduire que f est surjective puis bijective.
4/ Montrer que f^{-1}(\Z^2) \subset \Z^2
5/ Justifier que A est inversible est que les coefficients de A^{-1} sont des entiers relatifs.
6/ Montrer que \det(A) \in \{-1,1\}

Je bloque à la question 2 ....

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 13:54

Si tu bloques à la question 2 cest que tu nas pas compris la question

(Lire Im(f))

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 14:01

Je dirais que :

Im (f) = Vect  ( f(e_1) , f(e_2) )

Comment trouver 2 vecteurs de l'image de f indépendants alors que sais pas qui est f ?

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 14:20

Trouve deux éléments (simples) qui sont dans l'image de f

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 14:21

(et linéairement indépendants)

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 14:47

J'ai pas compris la méthode pour trouver 2 vecteurs de l'image de f

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 14:58

Ramanujan @ 14-11-2018 à 13:39




On suppose dans cette question que f(\Z^2) = \Z^2

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:05

Citation :
1/ Montrer que f(\Z^2) \subset \Z^2 si et seulement si tous les entiers sont relatifs.

Ça m'étonnerait bien que ce soit l'énoncé d'origine. Ça n'a aucun sens....

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:39

Ramanujan @ 11-11-2018 à 19:40

Bonsoir,

Je commence le sujet du CAPES de maths 1 2017. N'ayant pas de corrigé à disposition je sollicite votre aide.

Les éléments de \R^2 sont représentés par des vecteurs colonnes à 2 lignes. On note :

e_1 = \left( \begin{array}{c} \\ 1 \\ \\ 0 \\ \\ \end{array} \right) et e_2 = \left( \begin{array}{c} \\ 0 \\ \\ 1 \\ \\ \end{array} \right)
On appelle réseau l'ensemble \Z^2 \subset \R^2 et on le note R.

Soient B=(e_1 ' , e_2 ') une famille de vecteurs de \R^2. On dit que B est une \Z base de R si :
- e_1 ' , e_2 ' \in R
- Tout élément X de R s'écrit de façon unique X= a e_1 ' + b e_2 ' avec a,b \in \Z

1/ Soit C = (e_1,e_2) la base canonique de \R^2. Montrer que C est une  \Z base de R

Il est évident que e_1 , e_2 \in R car 1 et 0 sont des entiers.

C est une base de \R^2 donc tout élément de \R^2 s'écrit de façon unique sous la forme : X = ae_1 + be_2

Or R \subset \R^2 donc tout élément de R s'écrit sous la forme unique  X = ae_1 + be_2

Je voulais savoir si ma justification est bonne ?

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:42

lafol @ 14-11-2018 à 15:05

Citation :
1/ Montrer que f(\Z^2) \subset \Z^2 si et seulement si tous les entiers sont relatifs.

Ça m'étonnerait bien que ce soit l'énoncé d'origine. Ça n'a aucun sens....


Oui erreur pardon :

Montrer que f(\Z^2) \subset \Z^2si et seulement si tous les coefficients de A sont des entiers relatifs.

En fait je crois que même cette question j'ai pas compris. J'ai fait n'importe quoi.

J'arrive pas à manipuler le f(\Z^2) \subset \Z^2 je comprends pas ce que ça signifie

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:43

tant que tu n'as pas pris la peine de justifier que a et b sont entiers, non

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:43

@Lionel

Je n'ai pas compris le sens de f(\Z^2) = \Z^2...

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:44

c'était la réponse à la question de 15:39

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:44

lafol @ 14-11-2018 à 15:43

tant que tu n'as pas pris la peine de justifier que a et b sont entiers, non


Excusez moi j'ai fait un erreur j'ai cité un ancien post alors que je voulais pas.

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:44

ça veut dire que l'image de Z² par f est Z², tout simplement

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:49

Définition de l'image de A par f
f(A) = \{ f(x), x \in A \}

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:55

Ce que je comprends pas c'est qu'on connait pas f.

=> Par exemple supposons f(\Z^2) \subset \Z^2

Alors comme la matrice A est composée de 2 colonnes (f(e_1),f(e_2))  et comme e_1 \in \Z^2 et e_2 \in \Z^2 alors f(e_1) , f(e_2) \in \Z^2.

On en déduit (a_1 , b_2 , b_1 ,b_2) \in \Z^4

<= Supposons que (a_1 , b_2 , b_1 ,b_2) \in \Z^4

J'ai des difficultés pour cette implication.

On a : f(e_1)= \left( \begin{array}{c} \\ a_1 \\ \\ b_1 \\ \\ \end{array} \right) \in \Z^2.

Et f(e_2)= \left( \begin{array}{c} \\ a_2 \\ \\ b_2 \\ \\ \end{array} \right) \in \Z^2.

Mais je vois pas comment en déduire f(\Z^2) \subset \Z^2

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 15:57

en utilisant la linéarité de f, peut-être?

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 17:34

En essayant de suivre vos indications.

Soit z un vecteur de \Z^2 Montrons que f(z) \in \Z^2

z est un vecteur de \R^2 et la base canonique est une \Z base de \Z^2 d'après la première question donc il existe \alpha , \beta \in \Z^2 tel que z = \alpha e_1 + \beta e_2

Or : f(z)= f(\alpha e_1 + \beta e_2) = \alpha f(e_1) + \beta f(e_2) \in \Z^2 par produit d'entiers.

On a montré : f(\Z^2) \subset \Z^2

Pour la question suivante...

Montrer que Im(f) contient 2 vecteurs linéairement indépendants.

f(\Z^2) = \Z^2  ce qui veut dire que : \Z^2 \subset f(\Z^2)

Soit z \in \Z^2 alors : z \in \{f(x) ,  x \in \Z^2 \} \subset  \{f(x) ,  x \in \R^2 \} car \Z^2 \subset \R^2

Donc : z \in Im(f)

e_1 \in \Z^2 et e_2 \in \Z^2 et ils sont indépendants par définition de la base canonique donc Im(f) contient e_1 et e_2

Pour la suite..
Montrer que f est surjective

Je dois monter que : Im(f) = \R^2 je vois pas trop.

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 20:54

Combien de temps tu réfléchis par question avant de venir ici...

Il existe u tel que f(u) = e1 meme chose pour e2

Trouveras tu un élément x tel que f(x) = ae1 + be2?

Posté par
verdurinre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 22:10

Bonsoir,
il est curieux de voir que tes questions portent sur un sujet que l'on peut voir ici .
Mais quelles n'ont finalement guère de rapport avec le sujet.

Tu inventes des problèmes qui ne sont pas ceux qui sont posés.

Essaye de t'en tenir à la lettre de l'énoncé.
Ce sera beaucoup plus facile.

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:20

verdurin @ 14-11-2018 à 22:10

Bonsoir,
il est curieux de voir que tes questions portent sur un sujet que l'on peut voir ici .
Mais quelles n'ont finalement guère de rapport avec le sujet.

Tu inventes des problèmes qui ne sont pas ceux qui sont posés.

Essaye de t'en tenir à la lettre de l'énoncé.
Ce sera beaucoup plus facile.


Je sais j'ai mis que c'était le sujet du CAPES 2017.

J'essaie de faire des choses, si j'ai faux dites moi où et comment faire...

Je suis en difficulté sur la Partie B j'y arrive pas donc que faire ?

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:20

lionel52 @ 14-11-2018 à 20:54

Combien de temps tu réfléchis par question avant de venir ici...

Il existe u tel que f(u) = e1 meme chose pour e2

Trouveras tu un élément x tel que f(x) = ae1 + be2?


Je réfléchis 30 min par question avant de demander de l'aide.

J'ai rien compris

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:23

rends toi à l'évidence : passer une demi heure pour chaque demi question, pour un sujet qui doit être fait en quelques heures, ça prouve une chose : tu n'as pas le niveau requis pour faire ces épreuves. Travaille un cours de L1 à fond, puis un cours de L2 à fond, puis un cours de L3 à fond, et là, tu pourras recommencer à essayer des sujets de CAPES

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:35

Pourtant j'ai réussi à faire les 2 sujets 2018 et tout comprendre la correction où je bloquais.

Mais en Algèbre linéaire j'en ai pas fait depuis longtemps. La première partie ça allait mais là je comprends rien alors que ça a l'air facile ça se voit ça m'énerve.

C'est des questions de cours ?

Le problème est qu'ne prépa MPSI/MP j'apprenais mon cours par coeur mais j'arrivais pas à faire les sujets non plus donc...

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:36

J'ai honte de bloquer sur des questions élémentaires.

Posté par
cocolaricottere : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:42

Apprendre par coeur ne sert à rien.

Comprendre ce qu'on fait beaucoup plus utile

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:46

Oui mais peut être que je vais étudier tout le cours, les démonstrations, le comprendre et ne pas réussir à faire ces questions.

Dans le niveau supérieur comprendre un cours n'est pas suffisant pour résoudre les problèmes.

Donc abandonner le sujet car j'ai pas le niveau est-ce une bonne solution ? Sachant que quand j'aurai étudié le cours je souhaite acheter le livre tout en un de MPSI Dunod J'intègre, il est probable que je n'y arrive toujours pas.

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:51

Honnêtement les 2 sujets 2018 tu y arrivais pas beaucoup mieux...  dans un cours de maths il y a le cours les démos mais aussi les exercices d'application et c'est le plus important!!!

Posté par
cocolaricottere : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:56

Certes , mais ne pas connaitre le cours ou ne pas l'avoir compris n'aide pas dans la résolution d'exercices sur ce cours !

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 14-11-18 à 23:58

lionel52 @ 14-11-2018 à 23:51

Honnêtement les 2 sujets 2018 tu y arrivais pas beaucoup mieux...  dans un cours de maths il y a le cours les démos mais aussi les exercices d'application et c'est le plus important!!!


Les sujets 2018 j'ai réussi à comprendre toutes les questions même si parfois je regardais la correction. Pourtant le sujet Maths 1 2018 était bien plus difficile sur l'écriture en base 2 y avait plein de récurrences délicates.
Le sujet 2 la partie arithmétique ça allait, je bloquais sur des questions, mais je comprenais vite avec l'aide. La partie géométrie et complexes était facile.

Là je comprends rien aux indications alors que c'est des questions élémentaires.
Je crois que j'ai jamais compris les histoires d'image d'application linéaire

Posté par
cocolaricottere : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 00:12

Quand on connait ses lacunes c'est plus facile de les combler.

Posté par
verdurinre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 00:45

@Ramanujan.
Je vais essayer de me motiver suffisamment pour taper un corrigé du premier problème.
Bien entendu il sera imparfait : je n'ai pas eu 20 aux écrits du CAPES.

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 12:49

verdurin @ 15-11-2018 à 00:45

@Ramanujan.
Je vais essayer de me motiver suffisamment pour taper un corrigé du premier problème.
Bien entendu il sera imparfait : je n'ai pas eu 20 aux écrits du CAPES.


Vous avez sûrement progressé entre temps et avant les sujets étaient bien plus difficiles.  Quand je regarde le sujet du CAPES 2000, j'arriverais même pas à faire une seule question.  Après c'est peut être parce qu'ils avaient des cours de géométrie plus approfondis qu'aujourd'hui.

Ça serait très gentil de votre part

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 15:05

En fait j'y arrive pas car on mélange \Z^2 et \R^2

On parle de f(\Z^2) = \Z^2

Mais f est définie de \R^2 dans \R^2 c'est ça qui m'a perdu.

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 15:11

Bah oui lappli est definie sur R2 mais elle a une propriété particulière sur Z2...

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 18:46

Quand une application est définie de A dans B, si C est une partie de A, on peut définir f(A), je ne vois pas où est le souci ?

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 19:27

Oui il n'y a aucun souci pour ça mais comment relier Im(f) qui est dans \R^2 avec f(\Z^2) = \Z^2 ?

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 20:45

Ce raisonnement est-il correct ?

Im(f) est un sous espace vectoriel de \R^2 donc il est de dimension 0 , 1 (droite vectoriel) ou 2 (\R^2 tout entier). Mais il contient 2 vecteurs linéairement indépendants. Donc il est forcément de dimension 2.

Donc : Im(f) = vect(e_1 , e_2 ) = \R^2

En effet avec e_1 , e_2 on décrit \R^2 tout entier.

Donc f est surjective mais l'ensemble d'arrivée est le même ensemble que l'ensemble de départ donc f est bijective.

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 21:04

Oui c'est ça mais encore une fois on a l'impression que tu balances des choses au hasard en espérant que ça marche. C'est la réponse attendue du corrigé celle que tu donnes mais bon je sais pas...
Sans parler de dimension ou d'espace vectoriel :

Il existe u tel que f(u) = e_1 et v tel que f(v) = e_2
Soit x  = ae_1 + b_e2 \in \mathbb{R}^2

Alors f(au + bv) = x ce qui prouve que f est surjective

C'est quand même bien plus clair comme démonstration quand on débute sur l'algèbre linéaire !

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 21:08

euh, lionel, là tu montres la surjectivité de \R^2 dans \R^2

(remarques, l'énoncé est si loin au dessus, c'est peut-être bien ce qui était demandé ?)

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 21:15

Montrer que f est surjective

En déduire que f est bijective

Pour la 2e question jsuis d'acc que faut utiliser des arguments de dimension c'est le plus simple, mais la question 1 quand on a tout oublié en algèbre linéaire c'est pas le plus naturel...

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 21:17

f était définie de quoi dans quoi ? (le peu que ramanujan nous a recopié n'est guère clair à ce sujet, et parler de surjectivité sans savoir de quel ensemble vers quel ensemble est définie une application, comment dire ....)

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 21:20

f application linéaire de R² dans R² avec f(Z²) = Z²

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 21:24

du coup effectivement, ramanujan s'était bien cassé la tête pour pas grand chose

Posté par Profil Ramanujanre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 22:27

@Lionel

Ah oui bien vu Vous avez fixé x \in \R^2 quelconque en utilisant que (e_1,e_2) est une base canonique et trouvé un antécédent qui est au + bv en utilisant la linéarité de f.

f(au+ bv) = af(u) + bf(v) = a e_1 + b e_2

Donc \forall x \in \R^2 : \exists z \in \R^2 : f(z) = x où z =au + bv

Posté par
lafol Moderateurre : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 22:28

LA base canonique ...

Posté par
lionel52re : CAPES maths 1 2017 15-11-18 à 22:37

Maintenant montre linjectivité sans passer par un raisonnement par dimension ca sera formateur..

Quasi le meme raisonnement quavant

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