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CAPES maths 1 2017
Ramanujan
Bonsoir,
Je commence le sujet du CAPES de maths 1 2017. N'ayant pas de corrigé à disposition je sollicite votre aide.
Les éléments de sont représentés par des vecteurs colonnes à 2 lignes. On note :
et
On appelle réseau l'ensemble et on le note
.
Soient une famille de vecteurs de
. On dit que
est une
base de
si :
-
- Tout élément de
s'écrit de façon unique
avec
1/ Soit la base canonique de
. Montrer que
est une
base de
Il est évident que car 1 et 0 sont des entiers.
est une base de
donc tout élément de
s'écrit de façon unique sous la forme :
Or donc tout élément de
s'écrit sous la forme unique
Je voulais savoir si ma justification est bonne ?
J'ai avec
Et je dois montrer que ... Ca m'a l'air évident car
mais je sais pas comment le démontrer...
Mais est un élément de
donc à coordonnées entières donc forcément
Pour la question suivante je comprends pas trop non plus, pour moi c'est juste un produit matriciel.
2/ Soient et
deux vecteurs de
On note :
Soit et
Montrer que si et seulement si :
Bah non car si je prends l'élément de qui est :
il ne peut pas s'écrire de façon unique sous la forme
sinon ça voudrait dire qu'il existe un
tel que
ce qui est absurde.
Mais je vois pas trop le rapport.
Il est évident que
Or
Je voulais savoir si ma justification est bonne ?
Si tu appliques ce raisonnement sur e_1' et e_2', ça ne marche pas, il me semble
l'intérêt c'est de ne pas donner le CAPES à des gens qui ne savent même pas faire un produit de matrices ...
Montrer que
Tu as deux implications à montrer dont une qui est triviale et l'autre aussi...
(
Calcul
pour l'autre c'est simple
D'accord 
3/ On suppose dans cette question que est une
base de
a/ Montrer que
D'après la définition d'un Z-base :
et
D'où le résultat
b/ Montrer qu'il existe tel que :
et
D'après la définition d'une Z-base, il existe
Et là je bloque.
c'est bizarre mais si est une
base de
On déduit que pour tout de
, il existe
tel que
et puisque et on conclut.
Mais ça me paraît trop simple, il a un truc que je n'ai pas compris....
Où alors on ne dit rien sur , et on a comme hypothèse
....
Bonjour,
Franchement, cet énoncé en morceaux de miettes est des plus agaçant.
Trouver où sont définis e'1 et e'2 nécessite une recherche fastidieuse.
Pour accéder au sujet : 
Il doit bien exister un corrigé quelque part.
Y a que le corrigé du problème 2.
Mais le problème 1 y a pas grand chose. J'ai trouvé un texte avec des indications mais la question où je bloque y a écrit "évident"... Puis c'est très mal expliqué.
Ramanujan,
Donc je dois avoir raison, puisque est une Z base de R, c'est donc une famille génératrice de
Donc pour tout , il existe
tels que
Et puisque il existe bien
tels que
et
salut
il faut dire que le sujet est tellement élémentaire ...
Oui ça correspond à mon niveau actuel, faire des choses élémentaires est mieux pour moi.
Le jour où j'aurais un niveau solide, je ferai des sujets de Centrale/Mines, Agreg interne.
Merci Mousse je viens de comprendre 
La question suivante :
Soit
Montrer que
J'ai fait :
J'ai pas d'idées pour continuer 
Salut
As-tu étudié les matrices de passage ou matrice de changement de base
Pour la question qui suit tu dois connaître quelques propriétés sur le déterminant.
Oui mais qui nous dit que est une base de
?
Si on le démontre pas on peut pas utiliser la matrice de passage...
et je pense que si $(e_1',e_2')$ est une base de $\mathbb{Z}^2$ alors c'est une base de par contre la réciproque ne marche pas
et je pense que si
Sinon tu peux faire ceci :
Ah bien vu ça marche bien avec cette méthode on calcule les coordonnées des 2 colonnes de la matrice
Par contre j'ai des doutes sur ma rédaction
Merci Mousse !
Ensuite il faut montrer que :
Je fais :
Or et
donc : il faut trouver les entiers
qui vérifient :
forcément :
et
ou
et
C'est juste ?
oui ça à l'air juste (à part une petite coquille je pense) sinon c'est
Tu devrais ajouter dans tes justifications que
D'accord
On suppose dans cette question que et que
Montrer que A est inversible et que les coefficients de sont tous des entiers relatifs.
Montrer que est une
base de
J'ai fait :
donc A est inversible.
D'où :
Je vois pas comment montrer que les coefficients de sont entiers...
Ramanujan....
Tu as pensé à utiliser la formule de la Comatrice c'est TRES BIEN
Comment tu peux t'arrêter en si bon chemin sérieusement, ça saute aux yeux
Ah oui je suis bête 
D'où le résultat les coefficients sont entiers.
Je bloque sur la suite.
Montrer que : est une
base de
Je pense avoir trouvé
Il est évident que et que
.
Soit . Prenons :
D'après la question 2 : où
Montrons que
est à coefficients entiers et X aussi par définition donc par produit
est à coefficients entiers et
Montrons l'unicité de
Soit :
D'où l'unicité.
On a montré :
Salut
Je ne comprends rien à ce que tu dis. Il faut que tes démonstrations soient claires ....
Si on note les coordonnées de
, dans la base
Tu dois montrer que
L'objectif est de prendre exprimé dans la base
(cette expression est unique) ,et de l'exprimer dans la base
et de constater l'unicité.
On prend quelconque dans
tel que
avec
et l'unicité provient de l'unicité des coefficients de
Mousse je vois pas ce qui est faux dans mon raisonnement.
J'ai utilisé la question II/1 : si et seulement si
En prenant : on a bien :
Vous utilisez que est une base de
pour faire le changement de base mais vous l'avez pas démontré ....
j'ai l'impression que je viens de dire une grosse bêtise :
Voici pour me rattrapper, une solution bien argumentée
Puisque on a (question 2.1) et
inversible, on a l'unicité de
Les coefficients de et de
sont dans
, on déduit que les coefficients de
sont dans
je m'embrouille complétement dans ces matrices,
Salut
Je ne comprends rien à ce que tu dis. Il faut que tes démonstrations soient claires ....
Si on note
Tu dois montrer que
L'objectif est de prendre
On prend
Je pense que c'est correct ce que j'ai écrit, simplement que puisque tu as montré que :
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