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Caractère C infini en 1 point
Bonjour,
Je souhaite montrer que prolongée par 1 en 0 est C infini en 0.
J'ai pensé à utiliser la formule de Leibnitz (mais c'est lourd) puis la définition de la dérivée avec le taux d'accroissement (mais c'est lourd...).
Je suis un peu bloqué et je pense qu'il doit y avoir (beaucoup) plus simple.
Merci d'avance 
Bonsoir, tu peux utiliser le développement en série entière de log(1+x) sur ]-1,1[ et divise par x pour x différent de zéro
Bonjour !
Soit à valeurs banachiques, dérivable à tout ordre en
(donc sur un intervalle
contenant
par changement de variables
.
Il en résulte (avec prolongement évident en
).
La fonction est dérivable à tout ordre sur
et la dérivée d'ordre
est
.
Puisque est continue sur le produit cartésien
la fonction
admet , par dérivation sous signe somme, une dérivée d'ordre
sur
et on a :
et, plus particuliérement :
Bonjour
Finalement le plus simple est de dire qu'il est bien connu que ln(1+x) admet un DSE en x=0 dont le rayon de convergence et R=1 (et non pas 1/2) et son premier terme a_0=0 et le second a_1x avec a_1=1.
On en tire que f(x)=ln(1+x)/x admet un DSE en x=0 toujours avec R=1 pourvu que l'on ait posé f(0)=a_1=1. D'où la réponse.
salut
je remercie luzak pour sa réponse fort instructive ...
cependant je me pose une question : tu commences par
Soit f à valeurs banachiques, dérivable à tout ordre en a (donc sur un intervalle I contenant a
la logique du pb n'est-elle pas de montrer que :
1/ f est dérivable en a
2/ utiliser ce que tu fais pour affirmer que f' est Coo
3/ en conclure que f est Coo
??
Bonjour carpediem et tous mes vœux pour 2018 !
Désolé mais "mon" n'est pas celui de l'énoncé !
Je traite le cas de avec
.
Je pense ma démonstration instructive puisque valable même quand on ne peut pas écrire de série entière pour le numérateur. En particulier ce que j'écris est vrai si on a une fonction indéfiniment dérivable en un point à droite.
......................
Pour dire la vérité, "mon" changement de variables est inspiré par l'écriture classique du reste de Taylor intégral, reste mis sous forme d'une intégrale sur un segment fixe, indépendant de .
merci et tous mes bons vœux pour 2018 aussi ...
effectivement quel c... : je me suis mélangé les pinceaux ... entre f et g ... (enfin g "est presque" la dérivée de f en un point !!!)
cependant remerci car effectivement c'est très intéressant
c'est un pb assez classique et tu en apportes une solution originale (inspiré par Taylor et ça je l'avais vu !!!) et alternative à la méthode plus classiquement "brutale"
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