Si G est engendré par a et f un caractère de G que peut-on dire de f(a) , puisque aⁿ = ...?

f(a) est une racine n-ieme de l'unité. Mais ensuite...

Bonsoir,

C'est bien ca.
Ensuite, étant donné un morphisme de groupe , peux-tu décrire l'image de f ?

Avec ces deux remarques, déduis en un isomorphisme entre {les morphismes de groupe } avec un groupe connu et simple.

L'image est un sous- groupe de Un, donc de la forme Ud, d diviseur de n, c'est ça?

Par contre je vois pas trop pour l'isomorphisme

Voyons :Soient n * et G un groupe de cardinal n engendré par a : G = {e,a,a²,....,a^n-1} .
Si f est un caractère de G , r = f(a) U_n = { exp(i2/n | 0 k < n} . Pour tout k on a donc f(a^k) = r^k .

Si pour chaque r de U_n on désigne par  g_r l'application , de G dans , a^k   r^k on vient de montrer que l'ensemble G ' des caractères de G est contenu dans {g_r | r   U_n} . Il ne reste plus qu'à montrer que l'inclusion inverse est vraie (càd si les g_r sont des caractères de G ).