Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Caractérisation continuité d'une application linéaire (E.V.N.)

Posté par
vicinet 01-07-23 à 16:13

Bonjour à tous,

Plongé dans mes révisions, je bloque à la compréhension d'une étape lors de la démonstration suivante : ( on étudie où $E$ et $F$ sont des espaces vectoriels normés )

Soit $f\in L(E,F)$ , les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1° $f$ est continue sur $E$ .
2° $\exists$ $M \in \mathbb{R}^+ , \forall x \in E, \vert \vert f(x)\vert \vert$ ≤ $M \vert \vert x\vert \vert$

Je suis sur l'implication 1 vers 2.

On suppose que $f$ est continue sur $E$ , alors $f$ est continue en $0$ .
Donc $\exists \alpha >0, \forall x\in E, \vert \vert x \vert \vert$ ≤ $\alpha$ => $\vert \vert f(x)\vert \vert$ ≤ $1$ . ( car vrai pour tout $\epsilon >0$ )

Si $x=0$ , alors c'est vrai pour $M$ quelconque.

Sinon, on a : $\vert \vert \frac{\alpha x}{\vert \vert x \vert \vert }\vert \vert \leq \alpha$

Je ne comprends pas cette dernière inégalité, il doit me manquer un argument, une clé supplémentaire pour la saisir : quelqu'un pourrait-il m'expliquer s'il vous plait ?
Merci par avance, excellent week-end à vous !

Posté par re : Caractérisation continuité d'une application linéaire (E.V. 01-07-23 à 16:28

Bonjour

Commence par montrer qu'une fonction linéaire continue est bornée sur la boule unité.

Posté par re : Caractérisation continuité d'une application linéaire (E.V. 01-07-23 à 17:30

Bonjour Camélia,

On peut montrer qu'une fonction continue sur E est lipschitzienne sur E : ça se fait bien !

Donc il existe $k>0$ tel que $\forall x,y\in E$ , $\vert \vert f(x)-f(y) \vert \vert \leq k\vert \vert x-y\vert \vert$

Ainsi, si on prend $x$ dans la boule unité et $y=0$ de $E$ , on a que : $\vert \vert f(x)\vert \vert \leq k\vert \vert x\vert \vert \leq k$

Et donc que la fonction linéaire continue $f$ est bornée sur la boule unité, est-ce bien ça ?

Posté par re : Caractérisation continuité d'une application linéaire (E.V. 02-07-23 à 15:38

Oui, c'est l'idée.
Du temps où j'enseignais ces trucs je mettais "borné sur la sphère unité" dans la chaine des équivalences.

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