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Caractérisation continuité d'une application linéaire (E.V.N.)
Bonjour à tous,
Plongé dans mes révisions, je bloque à la compréhension d'une étape lors de la démonstration suivante : ( on étudie où et
sont des espaces vectoriels normés )
Soit , les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
1° est continue sur
.
2° ≤
Je suis sur l'implication 1 vers 2.
On suppose que est continue sur
, alors
est continue en
.
Donc ≤
=>
≤
. ( car vrai pour tout
)
Si , alors c'est vrai pour
quelconque.
Sinon, on a :
Je ne comprends pas cette dernière inégalité, il doit me manquer un argument, une clé supplémentaire pour la saisir : quelqu'un pourrait-il m'expliquer s'il vous plait ?
Merci par avance, excellent week-end à vous ! 
Bonjour Camélia,
On peut montrer qu'une fonction continue sur E est lipschitzienne sur E : ça se fait bien !
Donc il existe tel que
,
Ainsi, si on prend dans la boule unité et
de
, on a que :
Et donc que la fonction linéaire continue est bornée sur la boule unité, est-ce bien ça ?
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