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Caractérisation de la continuité d'une fonction
Bonjour,
Je suis bloqué sur un exercice de topologie. Je dois montrer :
f continue sur E <=> pour toute partie A de E,
J'ai réussi l'implication directe, mais j'ai du mal avec la réciproque. J'ai pris un élément quelconque a de E, et une suite (xn) convergeant vers a. Je veux montrer que f(xn) tend vers f(a).
Je pose A l'ensemble des (xn pour n entier). Son adhérence est A U {a}. Donc, par hypothèse, f(a) est inclus dans l'adhérence de f(A). Donc il existe une suite d'éléments de f(A) qui converge vers f(a). Le problème, c'est que je ne sais rien sur ma suite d'éléments de f(A). Elle peut être constante, voire divergente.
J'ai du mal à conclure rigoureusement, mais je vois bien que si cette suite ne converge pas vers a, ça pose un problème.
De l'aide ? 
Bonjour,
Ton idée de départ était bonne, mais il est plus facile de résonner par l'absurde: supposons que f(xn) ne converge pas vers f(x). Alors on peut construire une sous suite x
(n) ( croissante) de xn vérifiant:
>0 tel que 
n
, |f(x(n))-f(x)|>
En posant A={x(n), n} et en appliquant le même raisonnement que tu m'as présenté tu devrais arriver à conclure.
La proposition est vraie pour tout espace topologique . Je te propose une preuve qui n'utilise pas le fait que les topologies sont définies par des distances . Et donc je n'utilise pas les suites .
Soient X et Y des espaces topologiques .
Pour toute partie Z de X ou de Y , je note Z ' son adhérence.
On suppose que l'on a: " A 
X , f(A ') (f(A)) ' et on veut montrer que f est continue .
Je te rappelle que les 3 propositions suivantes sont équivalentes :
c1.F est continue
c2. V ouvert de Y , f-1(V) est un ouvert de X
c3. G fermé de Y , f-1(G) est un fermé de X
Je te montre que " G fermé de Y , f-1(G) est un fermé de X " est réalisée .
Soit donc G un fermé de Y . Je pose F = f-1(G) .
On a : f(F ') (f(F)) ' et comme f(F) = f(f-1(G)) G on a : f(F ') G ' = G (car G est fermé) .
Il en résulte que f-1(f(F ')) f-1(G) = F . Mais F ' f-1(f(F ')) donc F ' F et comme on a toujours F F ' on a F = F ' qui montre que F est fermé .
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