Bonjour

Si tu prends dans R^2, avec la base canonique u(e₁)=e₁ et u(e₂)=0, tu as bien rg(u)=1=2-1, mais u n'est pas nilpotente!

Donc tu as bien raison de ne pas savoir le démontrer!

Rebonjour. oui effectivement ca ne marche pas. Et j'ai bien verifié lenoncé qui disait bien que n>=1  Donc ca ne marche pas. Merci. (Je tiens a signaler que l'exo était donné dans un oral de centrale cette année).

Mais, c'est ****** de donner ça à un oral de concours!

Ca arrive dans les meilleures écoles...

Ceci étant dit, si l'énoncé est:

Soit u un endomorphisme nilpotent. Montrer que le degré de nilpotence de u est n-1 si et seulement si rg(u)=n-1, alors c'est vrai.

Resalut Camelia.
je ne pense pas que ce soit vrai lequivalebce que tu propose. il suffit de prendre dans R^3 lendomorphise u tel que u(e1)=e2 et u(e2)=e3 et u(e3)=0.
Sauf erreur de calcul bien sur.

Bonjour,

je pense que Camélia voulait dire l'ordre de nilpotence de u est n ssi rg(u)=n-1 où u est nilpotent.

ah oui! au fait je me suis trompé dans mon énoncé! il fallait prendre u nilpotent.
Mais dans ce cas comment on peut montrer le sens (<==)?

n est la dimension de l'espace vectoriel?

Oui.n>=1 est la dimension de lespace vectoriel

Camelia :
"Soit u un endomorphisme nilpotent. Montrer que le degré de nilpotence de u est n-1 si et seulement si rg(u)=n-1, alors c'est vrai." oui, mais seulement si n désigne la dimension de l'espace vectorielle.

c koi la definition de degré de nilpotence que tu donnes Ksilver?

Ok pour le sens ---> tu peux considérer la suite des noyaux Ker(u), Ker(u²),....

Pour le sens --->, par le théorème du rang, dim Ker(u)=1, si je dis pas de betises ta matrice est semblable à la matrice avec des 1 au-dessus de la diagonale qui est d'ordre de nilpotence n. Si tu connais la réduction de Jordan c'est immédiat car il n'y a qu'un bloc, sinon ça doit pouvoir se faire à la main, essaye je reviens ce soir

Je voulais dire en deuxième pour le sens <----.

ah non, c'est pas une définition du degrée de Nilpotence, je reprenais juste ce que disait camelia : tous ceci marche car n est le degré de nilpotence de la matrice, et ce n'est pas totalement evident de voir que c'est neccesaire ^^ (car on pourrait aussi penser que l'ordre de nilpotence est lié au rang de facon géneral quoi...)

mais ce nest pas ce que je voulais dire! jaimerais bien etre dacord sur un point:
on dit que u est un endomorphisme d'INDICE de nilpotence n ssi u^n=0 et u^(n-1)<>0
je voulais savoir si toi tu disais que:
on dit que u est un endomorphisme de DEGRES de nilpotence n ssi u^n=0 et u^(n-1)<>0
????

Ah euh oui

posté par : Ksilver
Camelia :
"Soit u un endomorphisme nilpotent. Montrer que le degré de nilpotence de u est n-1 si et seulement si rg(u)=n-1, alors c'est vrai." oui, mais seulement si n désigne la dimension de l'espace vectorielle.
je te donne le contre exemple suivant:
on pren dans R^3 lendomorphise u tel que u(e1)=e2 et u(e2)=e3 et u(e3)=0.
Je te laisse le soin de verifier que le rang est 2, lindice de nilpotence est 3

oui, la th exacte c'est : "Soit u un endomorphisme nilpotent de R^n. Montrer que le degré de nilpotence de u est n si et seulement si rg(u)=n-1"

>>Cauchy.
Je n'ai pas bien saisi comment tu arrives a demontrer que la matrice est semblable à la matrice avec des 1 au-dessus de la diagonale, en utilisant que le rang est egal a (n-1).?

non, si M est une matrice nilpotente d'indice n, alors on peut l'ecrire facilement dans une certain base comme une matrice avec des 1 au dessu de la diagonal, et cette matrice est bien de rang n-1. ca donne la premier implication.

(prend un x telle que M^(n-1) x est non nul, vérifie que x,Mx,M²x..M^(n-1)x est une base, et ecrit M dans cette base...)


la réciproque c'est a coup de théorème du rang je pense...

on prend un matrice nilpotente de rang (n-1)

on applique le théorème du rang à l'application M restreinte en une application de Im M^k dans Im M^(k+1). (elle est surjective...)

cela nous dit que :
dim Im M^(k+1) + dim (ker M inter Im M^k) = dim im M^k

or dim (ker M inter Im M^k) <= 1, car dim ker M =1.

et dim M^(k+1)=dim M^k est impossible, sinon au aurait M bijective de Im M^k dans Im M^k+1, avec Im M^k+1 =Im M^k... donc ne serait plus nilpotent (Im M^p serait égal a Im M^k des que p>k...)

donc dim Im M^(k+1) = dim im M^k -1

d'ou dim M^(k) = n-k

et donc M^k n'est nul que a partir de k=n !!

Bonjour

Oui, c'est bien comme ça que je le voyais. J'ai repris le n de l'énoncé initial, la dimension de l'espace, et j'ai dit qu'il falait d'abord supposer la nilpotence. Autrement c'est faux. Les matrices

et
sont de même rang mais n'ont pas le même degré de nilpotence!