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caractérisation en epsilon.
Bonjour,
dans notre cours nous n'avons pas prouver la caractérisation en epsilon des bornes inférieures et supérieures.
Je vous remets ce qu'on doit montrer :
A
et A non vide.
1) On suppose s un majorant de A. Il y a équivalence entre:
(i)s=sup(A)
(ii)
>0, 
a
A, s-<a
(iii) >0,aA, |s-a|<.
2) On suppose i un minorant de A. Il y a équivalence entre:
(i)i=inf(A)
(ii) >0, aA, i+>a
(iii) >0,aA, |i-a|< (sauf erreur).
Je pense que si j'arrive à prouver le 1), le 2) sera similaire.
Voici ce que j'ai fait:
Montrons que (i)
(ii)
Soit >0, alors s-<s et s plus petit des majorants de A donc s- ne majore pas A, donc a A, a>s-.
Montrons que (ii)(i)
On suppose s majorant de A.
Soit M un majorant de A et M<s.
Raisonnons par l'absurde:
On pose =(s-M)/2 >0
alors a A, a>1+.
Enfin à partir d'ici je bloque. Pouvez vous m'aider et me dire si ce que j'ai fait est correct ou pas su tout?
Merci d'avance et bonne journée. 
Bonjour Bachstelze.
Par contraposée :
Soit s un majorant de A. Si s n'est pas le plus petit des majorants, il existe M<s.
En posant M=s-, On a pour tout a de A, a<M soit a<s-.
Est ce assez complet?
Avez vous une idée pour les équivalence avec (iii)?
Merci d'avance et bonne journée
C'est bon, oui.
Pour (iii), c'est assez évident aussi. Remarque que puisque s est un majorant de A, dire que |s-a| > pour un élément a de A revient à dire que a < s-, donc en montrant que c'est vrai pour tout a de A, on a un nouveau majorant.
je bloque un peu(ça ne doit pas être très difficile) mais je ne suis pas du tout à l'aise avec les valeurs absolues...
Dans , |a-b| = distance entre a et b. Donc dire que |s-a| > , c'est dire que a se trouve à distance au moins de s. Il ne peut pas être au-dessus puisque s est un majorant, donc il est en dessous et il est donc inférieur à s-.
Merci j'ai compris cela. Mais comment rédiger cette démonstration, il suffit de dire ce qur vous avez dit dans le précédent post, pas plus?
Pour la démo ne t'embête pas et utilise (ii). Comme tu sais que a ≤ s, tu as s-a ≥ 0 et donc |s-a| = s-a. À partir de là, s-a est trivialement équivalent à |s-a| < . Je ne l'avais aps dit car ça me semblait évident...
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