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Cardinal
Ramanujan
Bonjour,
Soient E et F 2 ensembles de cardinal fini. Ils sont donc en bijection avec et
.
Posons : et
Notons l'ensemble
On montre aisément que : :
Par ailleurs, est une partition de
Ici j'ai un peu doute, comment montrer ce résultat ?
Puis
Puis
Je comprends pas comment on passe de à
...
Bonjour
Pour le premier, cardinal d'un produit cartésien… c'est le produit des cardinaux car les deux finis, et le singleton {ei} est de cardinal 1.
Pour le deuxième point, tous les cardinaux des Fi valent m (le cardinal de F), et vous avez une somme à n termes constants… ce qui donne bien n*m.
Ah. Au vu de votre résultat, pour le premier point, on ne peut bien sûr pas utiliser ce résultat puisque c'est ce qu'on veut montrer (il eût été bien de le préciser dès le départ…).
Vous posez G = {ei} et l'application f:F -> G*F définie par f(x)=(ei,x) est une bijection… (en fait ça se fait aussi très bien par récurrence et ça c'est l'initialisation au rang 1 !)
Bonjour
L'union des Fi n'est rien d'autre que l'union des{ ei}*F or l'union des ei de 1 à n n'est rien d'autre que E
D'ou le resultat
Le card(F1) +.......+card(Fn) = card (UFi) car il sont disjoint 2 à 2
Or card (UFi)= card E*F=n*m
Ah. Au vu de votre résultat, pour le premier point, on ne peut bien sûr pas utiliser ce résultat puisque c'est ce qu'on veut montrer (il eût été bien de le préciser dès le départ…).
Vous posez G = {ei} et l'application f:F -> G*F définie par f(x)=(ei,x) est une bijection… (en fait ça se fait aussi très bien par récurrence et ça c'est l'initialisation au rang 1 !)
Merci.
Comment justifier que
Bonjour
L'union des Fi n'est rien d'autre que l'union des{ ei}*F or l'union des ei de 1 à n n'est rien d'autre que E
D'ou le resultat
Le card(F1) +.......+card(Fn) = card (UFi) car il sont disjoint 2 à 2
Or card (UFi)= card E*F=n*m
Non on peut pas utiliser ça car mon exo c'est la démonstration du théorème suivant :
Non on peut pas utiliser ça car mon exo c'est la démonstration du théorème suivant :
Card (E \times F)= Card(E) \times Caard (F)
Je ne vois pas le problème
salut
ben il suffit de revenir à la définition de E x F !!!
Faut montrer que les parties sont disjointes et non vides ?
Pour la partition il suffit juste de montrer que Fi est inclus dans E croix F
Et cela est visible puisque tout éléments de Fi est dans EcroixF.
Et que l'Union des Fi est égale à EcroixF
Ceci aussi est visible s'inspirer de Mon premier sms
Pour la partition il suffit juste de montrer que Fi est inclus dans E croix F
Et cela est visible puisque tout éléments de Fi est dans EcroixF.
Et que l'Union des Fi est égale à EcroixF
Ceci aussi est visible s'inspirer de Mon premier sms
et qu'ils sont 2 à 2 disjoints !
Non vides on s'en fiche. (mais c'est trivial ici) Revoir la définition de X est une partition de Y si doute. Mais sinon c'est ça. J'imagine que votre prof est vite passé dessus, c'est un bon réflexe que vous avez de vouloir pousser dans le détail les preuves.
Et rmq. encore mais j'insiste : ça se fait très bien par récurrence sur le card de E par exemple, c'est l'idée la plus naturelle (si j'ajoute un élément dans E ça va rajouter autant de ""combinaisons"" possibles qu'il y a d'éléments dans F, i.e. Card(F) possibilités, càd éléments, supplémentaires pour chaque élément dans E...).
salut
ben il suffit de revenir à la définition de E x F !!!
C'est la démonstration pour montrer que c'est une partition ?
Bonjour 
Non on peut pas utiliser ça car mon exo c'est la démonstration du théorème suivant :
Je m'excuse pour cette insertion tardive, mais je pense qu'il faut rappeler une petite bricole à laquelle les étudiants semblent ne pas être familiers : la notion de cardinal.
Un cardinal est un ensemble qui joue le rôle de "chef de file" de tous les ensembles auquel il sont équipotents.
On pourrait formaliser la notion "à la Bourbaki" avec l'utilisation de l'opérateur
, mais ce n'est pas nécessaire.
Donc si E est un ensemble, alors, par définition, il est en bijection avec Card(E).
Il suit que si E et F sont deux ensembles quelconques, alors ils sont en bijection avec, respectivement, Card(E) et Card(F).
Ainsi, E x F est en bijection avec Card(E) x Card(F)
(sous réserve de vérifier que si A est en bijection avec C et B en bijection avec D, alors A x B est en bijection avec C x D)
Or, à nouveau par définition, Card(E x F) est en bijection avec E x F.
On déduit aussitôt que Card(E x F) est en bijection avec Card(E) x Card(F).
________________________________________________________________________
N.B. : il n'est pas exact d'écrire une égalité de type Card(E x F) = Card(E) x Card(F) car Card(E x F) n'est pas un produit d'ensembles.
@jsvdb
Dans mon cours, il est écrit qu'un cardinal n'est pas un ensemble. C'est un entier.
SI E est de cardinal fini, alors E est en bijection avec [|1,n|] où n est un entier non nul et
@jsvdb
Dans mon cours, il est écrit qu'un cardinal n'est pas un ensemble. C'est un entier.
SI E est de cardinal fini, alors E est en bijection avec [|1,n|] où n est un entier non nul et
non
et il est évident que c'est une partition
puisque (e_j, f_k)
F_i si j <> i ...Pas plutôt que :
Si
On peut voir les cardinaux comme des ordinaux d'une manière générale.
Mais dans le cadre fini, il est plus commode de travailler avec des bijections avec un segment d'entiers
dans mon cours, il est écrit qu'un cardinal n'est pas un ensemble. C'est un entier.
Par définition, tout objet est ensemble dans la théorie des ensembles. Donc un cardinal est un ensemble.
Mais attention, un entier est un cardinal fini, c'est-à-dire un cardinal
sous réserve, naturellement, de définir correctement l'opération " +1 " dans la classe des cardinaux.
Cet exercice est intéressant car il permet de définir la somme de deux ensembles A et B bien qu'il n'y ait aucune structure additive entre les deux ensemble en question.
On rappellera quand même qu'au programme de prépa il n'y a pas de construction si rigoureuse que cela des ensembles usuels (sauf peut-être encore de C et des quelques anneaux classiques qui font l'objet de cours entiers). Alors parler de théorie des ensembles à ce niveau n'est certainement qu'un cours de flûte à bec bouchée. En outre cette définition du cardinal, bien plus précise (et effectivement assez "bourbakienne" !...), n'est pas celle qui est donnée.
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