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Cardinal d'un ensemble de matrices
Bonjour. Je bloque sur cette exercice : Pour M
Mn(
), on note IM l'ensemble des matrices A de [M] tels que A²=In.
1) On suppose que M est diagonalisable et l'on note p le nombre de ses valeurs propres distinctes.
On me demande dim [M], qui me semble être égal à p (car le polynôme minimal de M est de degré p), puis on me demande le cardinal de IM.
Je peux dire que tout polynôme en M est diagonalisable, donc A[M] est diagonalisable, donc A est semblable à une matrice diagonale avec des -1 et des 1, mais je n'ai pas pour autant le cardinal...
2) Cardinal de IM si M est nilpotente ?
Merci d'avance.
Bonjour,
Peut-être connais-tu des choses sur la structure de \C[M] ? Tu as parlé du polynôme minimal de M... Tu a peut-être aussi vu le théorème des restes chinois ?
Un pseudo bien prétentieux!
Suppose que ta matrice est diagonale, ça ne change rien à l'affaire. Tu cherches les symétries de C[M], c'est-à-dire celles qui n'ont que des 1 ou -1 sur leur diagonale. Si deux coefs diagonaux de M sont égaux, il en sera de même pour tout polynôme en M. Donc il y a au max 2^p matrices dans Im. En fait il y en a exactement 2^p.
Ok merci ! En fait pour dire que si ma matrice est diagonale, ça ne change rien, il faut juste préciser que comme M = P-1 D P avec D diagonale et que P(M)=In <=> P(D)=In alors IM=ID ?
Avec le même raisonnement, pour la question 2, si M est nilpotente, M = P-1 T P avec T triangulaire stricte et P(M)=In <=> P(T)=In. Or P(T)=In est impossible (les coefficients de tout polynôme en T sont nuls sur la diagonale) sauf si P=In donc In et -In seraient les seuls éléments de IM ? Est-ce vrai ?
En ce qui concerne mon pseudo, cela n'a rien de prétentieux. C'est juste un clin d'oeil à Evariste Galois, en aucun cas je ne cherche à me comparer à lui. Je suis bien conscient de mon ignorance en maths, et c'est d'ailleurs pour cela que je poste régulièrement des questions sur le forum 
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