Ça revient à compter les couples (a,b) d'éléments du corps tels que a^2+b^2=1.

Tu peux essayer par toi-même.

Oups,

Bonjour :

Dans une vidéo, j'ai vu que si Fp avait un carré w pour -1.

On pouvait écrire a²+b² =(a+wb)(a-wb) = 1, avec un changement de variable x = a + wb et y = a -wb, on a xy = 1(changement de variable possible lorsque p est différent de 2)

Le nombre d'éléments est alors le nombre d'inversible de Fp dans ce cas et il y en a p-1.

Cependant, je n'arrive pas à comprendre comment on utilise l'argument de la congruence p = 1 [4] ou p=3[4].

Si je prends a² + b² =1 alors a² = (1+b)(1-b) et après je suis bloqué.

Sinon pour p=2 c'est clair.

Tu veux dire w racine carrée de -1, je suppose.

Quelle est la condition nécessaire et suffisante sur le nombre premier impair p pour que -1 soit un carré dans le corps à p éléments ?

J'ai cherché, mais je n'ai pas trouvé. je ne sais pas répondre à cette question.

Je dirais, sans preuve, que la condition nécessaire et suffisante et que p = 1[4] car dans le corps F5 par exemple -1 = 2².

Je viens de trouver que c'est les lois de réciprocité quadratique. Il faut que je les étudie (je n'ai jamais étudié ça).

Mais pour les entiers premiers p = 3 [4] on fait comment pour compter le nombre d'élément de SO2(Fp) ?

Non, inutile que tu t'embarques dans les lois de réciprocité quadratique. C'est bien plus simple..
Soit un premier impair.
Le groupe multiplicatif du corps a éléments. Un résultat fondamental est que c'est un groupe cyclique. Dans ce groupe, est l'unique élément d'ordre 2 (l'unique élément différent de 1 dont le carré vaut 1). Un élément du groupe multiplicatif sera une racine carrée de si et seulement s'il est d'ordre 4. Or un groupe cyclique contient un élément d'ordre 4 si et seulement si l'ordre du groupe est multiple de 4.
Bilan : est un carré modulo si et seulement si 4 divise , autrement dit si et seulement si est congru à 1 modulo 4.

Ça me paraît curieux de compter le nombre d'éléments de sans avoir vu cette caractérisation des tels que est un carré dans . D'où te vient ce problème ?

Pour les premiers congrus à 3 modulo 4,  la façon que je connais est de paramétriser la conique d'équation , en faisant passer une droite par le point par exemple. Il y a peut-être plus simple, en tout cas je ne vais pas expliquer ça ce soir.

Merci pour votre réponse, c'était clair.
Je prépare seul l'agrégation, j'aborde les problèmes que je peux rencontrer pendant le concours. Et il y a des problèmes que je ne connais vraiment pas du tout ,même si j'ai fait des études en mathématiques.

J'aborde ces problèmes pour d'une part connaître ce qui m'est inconnu et d'autre part pour bien mémoriser. Car si j'ai eu des difficultés, je ne note les pistes et problèmes de réflexions après avoir compris. ( Comme j'ai réfléchi et que j'ai été bloqué, ça va m'aider à mieux me souvenir).

C'est ma façon de faire, je suis conscient de ne pas savoir beaucoup de domaines en mathématiques(même si bien sûr j'ai des bases).
Et bien sûr il y a beaucoup de gens qui savent mieux que moi.
Alors je n'hésite pas à poser les questions si je suis bloqué, alors merci pour toutes les personnes de ce forum qui m'aident.

Je suis curieux de savoir pour les premiers congrus à 3 modulo 4.

Le problème que tu te poses ne me paraît pas vraiment basique pour l'agrégation !

Je t'ai indiqué la voie : faire passer une droite par , disons ou la pente varie dans le corps. On a tout le monde sauf la droite .
Et puis on étudie l'intersection de cette droite avec la conique (j'ai remplacé et par et , ça a l'air plus familier).
Ça te permettra de compter le nombre de points de cette conique.

Alors je trouve comme points d'intersections le point (1,0) et pour que ce point soit solution il faut que ce qui est bien le cas car .


Mais je ne peux compter juste que deux points (x,y) pour l'instant tels que x²+y² = 1 (intersection de la droite avec le cercle unité).
Comment on compte les autres points ?

Faut-il analyser les équations de droite

y = (p-1)(x-1)
y = (p-2)(x-1)
...
y = (p-(p-1))(x-1) en intersectant avec le cercle
?

Oups, désolé, je t'ai induit en erreur en appelant la pente de la droite, alors que dans l'histoire c'est le nombre premier modulo lequel on travaille.

Je reprends : faire passer une droite par , disons ou la pente varie dans le corps. On a tout le monde sauf la droite .
Et puis on étudie l'intersection de cette droite avec la conique

Dans ce cas le  couple de solution est , nous devons avoir que c'est bien le cas, car cette fois -1 n'est pas le carré d'un élément de Fp.
En faisant varier m, on a au plus p solutions.
il peut y en avoir moins si on considère les m tels que :
, dans ce cas


En tout cas je n'arrive pas à avoir les p+1 solutions

Sur chacune des droites obtenues quand on fait varier , il y a un point d'intersection différent de (1,0) . Ça fait donc points différents. Tu t'emmêles les pinceaux avec ton histoire de deux coordonnées égales !
Et il ne faut pas oublier le point (1,0) ! Ça nous en fait .
Il reste la droite . Mais celle-ci rencontre la conique sulement en (1,0). On a donc bien tout le monde.

D'accord mais pourquoi on aurait pas ?

Je pense que c'est important de montrer que c'est faux, pour montrer qu'on a vraiment p solution en dehors du cas (1,0).

Sinon si , alors on va compter trop de fois les (x,y) tels que x²+y² = 1 en ayant (x,y) = (y,x) qui marche aussi.

C'est pour ça que je veux vérifier que dans le corps Fp.

Ou bien on regarde l'application : m -> de Fp dans (Fp)² et on voit si elle est injective ?

Tu te perds, là.

Revenons au début. On compte les matrice orthogonales de déterminant 1;
Ça revient à compter LES COUPLES tels que , c.-à-d. à compter les points de cette conique.
Bien sûr que cette conique est globalement invariante par la symétrie . Et alors ?

Pour l'histoire d'injectivité (je ne vois d'ailleurs pas le rapport avec le fait que les deux coordonnées soient égales ???), deux différents donnent deux droites différentes qui ne se coupent qu'en (1,0). Les points d'intersection trouvés sont donc forcément différents, non ?

C'est bon, j'ai compris maintenant !

Merci de votre patience infini et pour les explications claires.

Avec plaisir.