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carrés et puissances modulo 100

Posté par
fabo34
27-01-25 à 13:53

Bonjour à tous.

Là j'étais en python pour vérifier les carrés modulo 100 et retrouver un résultat connu: les carrés ne peuvent se terminer que par les valeurs [0, 1, 4, 9, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96].

En voulant pousser un peu plus loin, je constate un autre schéma pour toutes les puissances premières p\geq 11. Cette fois, c'est une exclusion qui est plus courte à donner: les puissances ne semblent jamais se terminer par: [2, 5, 6, 10, 14, 15, 18, 20, 22, 26, 30, 34, 35, 38, 40, 42, 45, 46, 50, 54, 55, 58, 60, 62, 65, 66, 70, 74, 78, 80, 82, 85, 86, 90, 94, 95, 98}

Je n'en vois pas bien la raison. Surtout pourquoi ce serait vrai pour tous les premiers.

Posté par
carpediem
re : carrés et puissances modulo 100 27-01-25 à 19:24

salut

hormis 2 qui est pair un premier n'est jamais pair ni multiple de 5 (à nouveau excepté 5)

et donc une puissance d'un impair premier ne peut être ni pair ni multiple de 5 ...

Posté par
fabo34
re : carrés et puissances modulo 100 27-01-25 à 20:50

En fait, on prend les puissance p des nombres n \in [[0;99]].  On regarde les n^p~ mod~ 100, ~p \in \mathbb{P}

Effectivement, je me rends compte que ma présentation est maladroite.
On va considérer la parité de n:

_ Pour n impair, toutes les valeurs impaires sont atteintes, sauf  les multiples de 5 autre que 25 ou 75. Ca me semble maintenant logique puisque les 5^p  se terminent effectivement uniquement par 25 ou du 75

_ Pour n pairs, alors seuls sont atteints: [0, 4, 8, 12, 16, 24, 28, 32, 36, 44, 48, 52, 56, 64, 68, 72, 76, 84, 88, 92, 96]. Là je n'ai pas compris pourquoi par exemple 2 ou 14 n'apparaissent pas

Posté par
fabo34
re : carrés et puissances modulo 100 28-01-25 à 08:09

En fait pour les pairs, ce sont juste les  2^p qui reviennent sur le 4 au bout d'un moment et forment ainsi une boucle:

2, 04, 8, 16, 32, 64, 1[28],2[56], 5[12], 10[24], 20[48], 40[96], 80[92], 16[384], 327[68], 655[36], 1310[72], 2621[44], 5242[88], 10485[76], 20971[52], 41943[04]

Voilà. Donc rien de bien folichon, même si je ne saisis pas la composition d'une telle boucle Qu'est-ce qui fait que ça revient sur le 4 ?

Posté par
verdurin
re : carrés et puissances modulo 100 28-01-25 à 19:05

Bonsoir,
le problème est intéressant.
Pour les quarante nombres impairs non multiples de cinq on sait qu'ils forment un groupe multiplicatif donc les longueurs des périodes sont des diviseurs de 40, car elles forment des sous-groupes d'un groupe à 40 éléments. Comme ce groupe n'est pas cyclique il s'agit de diviseurs stricts. On  a donc des périodes de longueurs 1 , 2 , 4 , 5 , 10 et 20.
Pour les nombres pairs c'est la même chose, mais je ne sais pas le démontrer



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