Bonsoir,
On considère un entier et
une norme d'algèbre sur
.
1) Montrer que pour tout nombre complexe tel que
la matrice
est inversible et que son inverse est donnée par
2) En déduire que pour tout entier et tout réel
, on a
3) Montrer alors que
4) Justifier que cette intégrale est nulle. Conclure.
Réponses
1) On a , donc
est une série absolument convergente dans
. J'ai donc essayer de calculer le produit matriciel
en permutant la somme et le produit.
Mais j'arrive sur des résultats du genre nombre moins matrice..
Bonsoir,
In et A étant des matrices, Tous les termes de la forme In.Ak et A.An sont nécessairement des matrices.
Commencez par sommer de k=0 à N fini, vous verrez qu'il y a simplification par téléscopage.
Par exemple, pour N = 3 :
(zIn-A)((1/z + A/z2+A2/z3) = In -A3/z3
Généralisez pour tout N puis pour une somme infinie en utilisant |z|>||A||
C'est n'importe quoi, on ne balance pas des divisions de matrices comme ça, et cette formule est valable pour les nombres complexes seulement. Le but de la question 1) de montrer que ça marche aussi avec les matrices pour z de module assez grand, donc tu ne peux pas balancer la formule comme ça.
La somme télescopique que mentionne LeHibou concerne le produit de cette somme et de zI-A (à gauche ou à droite c'est pareil parce qu'on a que des (combinaisons linéaires de) puissances de A, donc tout commute).
Oui, effectivement on a :
Or
Conclusion :
2) parcourt le cercle de centre
et de rayon
dans le plan complexe.
Donc est en dehors du spectre de
, c-à-d
.
Or pour on a :
On peut alors remplacer par
où
puis appliquer la formule d'intégration de Cauchy pour les fonctions holomorphes.
Le calcul fonctionnel holomorphe (ou continu) et la généralisation des techniques habituelles aux C*-algèbres dépassent de beaucoup ton niveau actuel, donc à nouveau, argument irrecevable
Par contre, tu peux faire les choses à l'envers grâce à la question 1) et calculer directement l'intégrale
Si , le coefficient devant
vaut
Sinon, il vaut 0, par 2pi-périodicité.
Maintenant il te reste à nous expliquer pourquoi l'interversion somme-intégrale est possible
Il suffit de montrer que la serie converge uniformément sur
:
Si , alors
, ce qui signifie que
lorsque
.
Si , alors le terme devient
, qui est toujours borné.
Si , alors
, et même si
, le terme
peut tendre vers l'infini. Cependant, puisque
et que la série
converge.
C'est un exercice assez facile, pas besoin de tout ça. Je te recommande de faire au plus simple. Je reformule un peu : on veut expliquer pourquoi
Tout est facile ici, sauf l'égalité marquée (*).
L'envie d'appliquer le TCD est forte mais il faut que tu résistes parce que le TCD que tu connais ne fonctionne qu'avec des fonctions à valeurs complexes ou réelles, pas de bol, pas le droit à l'intégrale de Bochner
Mais tu peux en fait faire le calcul du reste et le majorer par un truc qui tend (en norme d'algèbre, toujours) vers la matrice nulle.
et seulement là, tu passes à la norme, tu utilises ses propriétés multiplicatives et tu majores ce reste par celui d'une série convergente.
D'où (*), puis les égalités qui suivent.
Fais-le et dis moi si tu as tout compris
On a
Majorer ce reste en utilisant les propriétés multiplicatives de la norme d'algèbre :
tend vers zéro lorsque
car la série converge, ce qui montre que l'égalité
est justifiée.
3) On a
où est le
-ème coefficient du polynôme caractéristique de
. Comme le polynôme caractéristique de
est donné par
, les
sont les valeurs propres distinctes de
et
sont les multiplicités algébriques correspondantes, on a
Or pour tout entier et tout réel
:
En poursuivant les calculs j'arrive à
La convergence vers 0 a lieu parce qu'il n'y a plus de dépendance en theta, l'effet de l'intégrale est simplement de multiplier par 2pi la somme qui se trouve à l'intérieur
Pour la suite, c'est un bon début de donner un nom aux coefficients du polynôme , mais ton calcul est forcément faux, parce qu'à gauche dans ta dernière égalité il y a une matrice, alors qu'à droite, il y a un scalaire
Comme précédemment, je te suggère de faire simple.
.
Remplace le A^p par son expression, intervertis somme et intégrale et regarde ce que tu peux en tirer
Oui, c'est ce que j'ai fait.
On a montré que pour tout entier et tout réel
, on a :
On a
Voici les premières lignes de mon calcul
Ok. On oublie la toute dernière pour l'instant.
A est une matrice de taille n*n, donc son polynôme caractéristique est de degré n, pas n-1.
Peux-tu m'écrire en fonction du polynôme
?
est une matrice de taille
, son polynôme caractéristique est de degré
, donc
pour
.
Le polynôme caractéristique de est de la forme
Il me semble qu'il faut remplacer par
, un machin du genre :
Le coefficient (-1)^n tu peux le mettre ou pas, en fonction de la définition du polynôme caractéristique que tu choisis. Ici, prenons un polynôme unitaire plutôt, donc , pour coller aux expressions qu'on a déjà.
Ce que tu as écrit ne t'avancera pas à grand chose j'en ai peur
Alors je te le dis autrement
Les blocs diagonaux sont de la forme .
Donc, le déterminant de chaque bloc est .
D'où, le déterminant de est le produit de ces déterminants de blocs diagonaux.
Le bloc diagonal de
a pour déterminant :
où est la sous-matrice obtenue en retirant la première ligne et la première colonne de
, et
est la taille de
.
Mais je ne vois pas comment simplifier le calcul de
Toujours ce problème de degré n-1 au lieu de n.
Il n'y a pas besoin de calculer le déterminant explicitement, et ta toute dernière formule est fausse, sauf si 0 est valeur propre.
Donc la somme dans l'avant dernière égalité du 05-02-24 à 18:39, sous l'intégrale est égale à
Maintenant, pour arriver à la forme demandée, tu ne connais pas une célèbre formule qui exprime l'inverse d'une matrice, quand il existe, en fonction de son déterminant et de la transposée de sa comatrice ?
Ah mais bien sûr
On a
Or
Il vient
Conclusion :
4) On a :
La comatrice de est une matrice de taille
dont les entrées sont des fonctions périodiques en
.
Je ne sais pas comment calculer ce genre d'intégrale mais en intégrant ces fonctions sur de
à
, chaque composante de la comatrice contribue de manière égale mais opposée sur l'intervalle complet
.
Pour la conclusion, signifie que la fonction caractéristique évaluée en la matrice
est nulle.
Sur le principe, oui, mais tes formules sont toujours fausses
Il y a toujours ce satané n-1 que tu ne veux pas lacher et un a disparu en route
Pour la rédaction j'aurais plutôt procédé ainsi
par associativité du produit matriciel et en utilisant la formule , qui est valable pour toute matrice B.
Je ne l'ai pas précisé jusqu'ici, mais l'intégrale d'une matrice, c'est la matrice des intégrales.
L'argument qu'il te manque pour la nullité de cette intégrale, c'est de dire que les coefficients de la comatrice de B sont polynomiaux en les coefficients de B.
Or, pour n'importe quel polynôme P, , où Q est un polynôme tel que Q' = P
Oups, coquille un peu malheureuse à la fin. Disons plutôt que
parce que P est une fonction holomorphe
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