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Cayley-Hamilton

Posté par
matheux14 04-02-24 à 21:02

Bonsoir,

On considère un entier n \geq 1, A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) et \|\cdot\| une norme d'algèbre sur \mathcal{M}_n(\mathbb{C}).

1) Montrer que pour tout nombre complexe z \in \mathbb{C} tel que |z|>\|A\| la matrice z I_n-A est inversible et que son inverse est donnée par

\left(z I_n-A\right)^{-1}=\sum_{k=0}^{+\infty} z^{-k-1} A^k


2) En déduire que pour tout entier p \in \mathbb{N} et tout réel r>\|A\|, on a

\begin{aligned}A^p=\dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi\left(r e^{i \theta}\right)^{p+1}\left(r e^{i \theta} I_n-A\right)^{-1} d \theta . \end{aligned}

3) Montrer alors que

\begin{aligned}\chi_A(A)=\dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi r e^{i \theta t} \operatorname{com}\left(r e^{i \theta} I_n-A\right) d \theta .\end{aligned}

4) Justifier que cette intégrale est nulle. Conclure.

Réponses

1) On a |z|>|A|, donc \sum_{k=0}^{+\infty} z^{-k-1} A^k est une série absolument convergente dans \mathcal{M}_n(\mathbb{C}). J'ai donc essayer de calculer le produit matriciel \left(z I_n-A\right)\left(\sum_{k=0}^{+\infty} z^{-k-1} A^k\right) en permutant la somme et le produit.

Mais j'arrive sur des résultats du genre nombre moins matrice..

Posté par
LeHiboure : Cayley-Hamilton 04-02-24 à 23:20

Bonsoir,

In et A étant des matrices, Tous les termes de la forme In.Ak et A.An sont nécessairement des matrices.
Commencez par sommer de k=0 à N fini, vous verrez qu'il y a simplification par téléscopage.
Par exemple, pour N = 3 :
(zIn-A)((1/z + A/z2+A2/z3) = In -A3/z3
Généralisez pour tout N puis pour une somme infinie en utilisant |z|>||A||

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 10:24

Je ne vois aucun téléscopage en calculant \sum_{k=0}^{N} z^{-k-1} A^k, cette somme vaut A\times \dfrac{(z^{-1}A)^{N+ 1} - I_n}{z^{-1}A - I_n}..

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 12:19

C'est n'importe quoi, on ne balance pas des divisions de matrices comme ça, et cette formule est valable pour les nombres complexes seulement. Le but de la question 1) de montrer que ça marche aussi avec les matrices pour z de module assez grand, donc tu ne peux pas balancer la formule comme ça.

La somme télescopique que mentionne LeHibou concerne le produit de cette somme et de zI-A (à gauche ou à droite c'est pareil parce qu'on a que des (combinaisons linéaires de) puissances de A, donc tout commute).

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 14:31

Oui, effectivement on a : (zI_n - A)\sum_{k=0}^{N} z^{-k-1} A^k = I_n - z^{-(N + 1)}A^{N + 1}

Or |z| > \|A\| \Longrightarrow \lim\limits_{N \longrightarrow +\infty} \left\|z^{-(N + 1)}A^{N + 1}\right\| = 0

Conclusion : \boxed{\left(z I_n-A\right)\left(\sum_{k=0}^{+\infty} z^{-k-1} A^k\right) = I_n \text{ et } \left(z I_n-A\right)^{-1}=\sum_{k=0}^{+\infty} z^{-k-1} A^k}

2) r e^{i \theta} parcourt le cercle de centre O et de rayon r dans le plan complexe.

Donc \forall \theta \in [-\pi, \pi], \quad r e^{i \theta} est en dehors du spectre de A, c-à-d |r e^{i \theta}| > |A|.

Or pour |z| > |A| on a :

\\ \left(z I_n - A\right)^{-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} z^{-k-1} A^k. \\

On peut alors remplacer z par r e^{i \theta} où r > |A| puis appliquer la formule d'intégration de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

\\ \begin{aligned} \\ A^p &= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi (r e^{i \theta})^{p+1} \sum_{k=0}^{+\infty} (r e^{i \theta})^{-k-1} A^k d\theta \\ \\ &=  \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi (r e^{i \theta})^{p+1} \left(r e^{i \theta} I_n - A\right)^{-1} d\theta. \\ \end{aligned} \\

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 14:51

Le calcul fonctionnel holomorphe (ou continu) et la généralisation des techniques habituelles aux C*-algèbres dépassent de beaucoup ton niveau actuel, donc à nouveau, argument irrecevable


Par contre, tu peux faire les choses à l'envers grâce à la question 1) et calculer directement l'intégrale



\begin{array}{rcl} \\ \int_{-\pi}^\pi\left(r e^{i \theta}\right)^{p+1}\left(r e^{i \theta} I_n-A\right)^{-1} d \theta &=& \int_{-\pi}^\pi  e^{i(p+1)\theta}r^{p+1}\sum_{k=0}^\infty r^{-k-1}e^{-i(k+1)\theta} A^k d\theta \\ &=& \sum_{k=0}^\infty\left(r^{p-k}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(p-k)\theta}d\theta\right)A^k \\ \end{array}

Si k = p, le coefficient devant A^k vaut 2\pi
Sinon, il vaut 0, par 2pi-périodicité.

Maintenant il te reste à nous expliquer pourquoi l'interversion somme-intégrale est possible

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 16:05

Il suffit de montrer que la serie \sum_{k=0}^\infty e^{i(p+1)\theta}r^{p+1} r^{-k-1}e^{-i(k+1)\theta} A^k  = \sum_{k=0}^\infty e^{i(p - k)\theta} r^{p - k} A^k converge uniformément sur [-\pi ~;~ \pi] :

Si k < p, alors p - k > 0, ce qui signifie que r^{p-k} \to 0 lorsque |r| < 1.

Si k = p, alors le terme devient e^{i(p-p)\theta} r^{p-p} = 1, qui est toujours borné.

Si k > p, alors p - k < 0, et même si |r| < 1, le terme r^{p-k} peut tendre vers l'infini. Cependant, puisque |A^k| \leq |A|^k et que la série \sum_{k=0}^\infty |A|^k converge.

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 17:24

C'est un exercice assez facile, pas besoin de tout ça. Je te recommande de faire au plus simple. Je reformule un peu : on veut expliquer pourquoi

\begin{array}{rcl} \\ \int_{-\pi}^{\pi} (re^{i\theta})^{p+1}(re^{i\theta}I-A)^{-1}d\theta &=& \int_{-\pi}^{\pi} \lim\limits_{N\to\infty}(re^{i\theta})^{p+1}\sum_{k=0}^{N} (re^{i\theta})^{-k-1} A^kd\theta \\ &=& \int_{-\pi}^{\pi} \lim\limits_{N\to\infty}\sum_{k=0}^{N} (re^{i\theta})^{p-k} A^kd\theta \\ &=& \lim\limits_{N\to\infty} \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=0}^{N} (re^{i\theta})^{p-k} A^kd\theta\qquad (*) \\ &=& \lim\limits_{N\to\infty} \sum_{k=0}^{N} \int_{-\pi}^{\pi}  (re^{i\theta})^{p-k} A^kd\theta \\ &=& \lim\limits_{N\to\infty} 2\pi A^p \\ &=& 2\pi A^p \\ \end{array}

Tout est facile ici, sauf l'égalité marquée (*).
L'envie d'appliquer le TCD est forte mais il faut que tu résistes parce que le TCD que tu connais ne fonctionne qu'avec des fonctions à valeurs complexes ou réelles, pas de bol, pas le droit à l'intégrale de Bochner
Mais tu peux en fait faire le calcul du reste et le majorer par un truc qui tend (en norme d'algèbre, toujours) vers la matrice nulle.


\begin{array}{rcl} \\ \int_{-\pi}^{\pi} (re^{i\theta})^{p+1}(re^{i\theta}I-A)^{-1}d\theta - \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=0}^{N} (re^{i\theta})^{p-k} A^kd\theta &=& \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=N+1}^\infty (re^{i\theta})^{p-k} A^k \\ \end{array}

et seulement là, tu passes à la norme, tu utilises ses propriétés multiplicatives et tu majores ce reste par celui d'une série convergente.
D'où (*), puis les égalités qui suivent.

Fais-le et dis moi si tu as tout compris

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 18:15

On a

\begin{aligned} \\     \int_{-\pi}^{\pi} (re^{i\theta})^{p+1}(re^{i\theta}I-A)^{-1}d\theta - \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=0}^{N} (re^{i\theta})^{p-k} A^kd\theta &= \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=N+1}^\infty (re^{i\theta})^{p-k} A^k d\theta. \\ \end{aligned}

Majorer ce reste en utilisant les propriétés multiplicatives de la norme d'algèbre :

\begin{aligned} \\     \left\| \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=N+1}^\infty (re^{i\theta})^{p-k} A^k d\theta \right\| &\leq \int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=N+1}^\infty |r|^{p-k} \| A^k \| d\theta \end{aligned}

\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi} \sum_{k=N+1}^\infty |r|^{p-k} \| A \|^k d\theta \end{aligned} tend vers zéro lorsque N \to \infty car la série converge, ce qui montre que l'égalité (*) est justifiée.

3) On a \chi_A(A) = \sum\limits^{n - 1}_{p = 0} c_p A^p

où c_p est le p-ème coefficient du polynôme caractéristique de A. Comme le polynôme caractéristique de A est donné par

\chi_A(t) = (t - \lambda_1)^{d_1} \dots (t - \lambda_k)^{d_k}, les \lambda_i sont les valeurs propres distinctes de A et d_i sont les multiplicités algébriques correspondantes, on a

\sum^{n - 1}_{p = 0} c_p (r e^{i \theta})^{p + 1} = \chi_A(r e^{i \theta})

Or pour tout entier $p \in \mathbb{N}$ et tout réel $r > \|A\|$ :

\begin{aligned}A^p = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi (r e^{i \theta})^{p+1} (r e^{i \theta} I_n - A)^{-1} d\theta.\end{aligned}

En poursuivant les calculs j'arrive à

\begin{aligned} \\ \chi_A(A) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \chi_A(r e^{i \theta}) n d\theta.\end{aligned}

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 18:22

La convergence vers 0 a lieu parce qu'il n'y a plus de dépendance en theta, l'effet de l'intégrale est simplement de multiplier par 2pi la somme qui se trouve à l'intérieur

Pour la suite, c'est un bon début de donner un nom aux coefficients du polynôme \chi_A, mais ton calcul est forcément faux, parce qu'à gauche dans ta dernière égalité il y a une matrice, alors qu'à droite, il y a un scalaire

Comme précédemment, je te suggère de faire simple.

\chi_A(A) = \sum_{p=0}^n c_pA^p.
Remplace le A^p par son expression, intervertis somme et intégrale et regarde ce que tu peux en tirer

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 18:39

Oui, c'est ce que j'ai fait.

On a montré que pour tout entier $p \in \mathbb{N}$ et tout réel $r > \|A\|$, on a :

\begin{aligned}A^p = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi (r e^{i \theta})^{p+1} (r e^{i \theta} I_n - A)^{-1} d\theta.\end{aligned}

On a

\begin{aligned} \\ \chi_A(A) &= \sum_{p=0}^{n-1} c_p A^p \\ \\ &= \sum_{p=0}^{n-1} c_p \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi (r e^{i \theta})^{p+1} (r e^{i \theta} I_n - A)^{-1} d\theta \\ \\ &= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \sum_{p=0}^{n-1} c_p (r e^{i \theta})^{p+1} (r e^{i \theta} I_n - A)^{-1} d\theta \\ \\ &= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \left(\sum_{p=0}^{n-1} c_p (r e^{i \theta})^{p+1}\right) (r e^{i \theta} I_n - A)^{-1} d\theta \\ \\ &= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \sum_{p=0}^{n-1} c_p (r e^{i \theta})^{p+1} \sum_{j=1}^n \operatorname{com}\left(r e^{i \theta} I_n - A\right)_{1, j} (r e^{i \theta} I_n - A)^{-1}_{j, 1} d\theta\end{aligned}

Voici les premières lignes de mon calcul

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 18:45

Ok. On oublie la toute dernière pour l'instant.

A est une matrice de taille n*n, donc son polynôme caractéristique est de degré n, pas n-1.

Peux-tu m'écrire \sum_{p=0}^n c_p(re^{i\theta})^{p+1} en fonction du polynôme \chi_A ?

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 19:29

A est une matrice de taille n \times n, son polynôme caractéristique est de degré n, donc c_p = 0 pour p > n.

Le polynôme caractéristique de A est de la forme

\chi_A(t) = (-1)^n \left(t^n + c_{n-1} t^{n-1} + \ldots + c_1 t + c_0\right).

Il me semble qu'il faut remplacer $t$ par re^{i\theta}, un machin du genre :

\begin{aligned} \\ \sum_{p=0}^n c_p (re^{i\theta})^{p+1} &= (-1)^n \left((re^{i\theta})^{n+1} + c_{n-1} (re^{i\theta})^{n} + \ldots + c_1 (re^{i\theta})^2 + c_0 (re^{i\theta})\right) \\ \\ &= (-1)^n \left(r^{n+1} e^{i(n+1)\theta} + c_{n-1} r^{n} e^{in\theta} + \ldots + c_1 r^2 e^{i2\theta} + c_0 r e^{i\theta}\right). \\ \end{aligned}

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 19:43

Le coefficient (-1)^n tu peux le mettre ou pas, en fonction de la définition du polynôme caractéristique que tu choisis. Ici, prenons un polynôme unitaire plutôt, donc \chi_A(z) = \det(zI - A), pour coller aux expressions qu'on a déjà.


Ce que tu as écrit ne t'avancera pas à grand chose j'en ai peur
Alors je te le dis autrement

\det(re^{i\theta}I - A) = \chi_A(re^{i\theta}) = {\red ???}

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 20:24

\det(re^{i\theta}I - A) = \chi_A(re^{i\theta}) = \sum^{n - 1}_{p = 0} c_p (r e^{i \theta})^{p + 1}

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 05-02-24 à 21:30

re^{i\theta}I - A = \begin{pmatrix} re^{i\theta} - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n} \\ -a_{21} & re^{i\theta} - a_{22} & \cdots & -a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & re^{i\theta} - a_{nn} \end{pmatrix}.

Les blocs diagonaux sont de la forme re^{i\theta} - a_{ii}.

Donc, le déterminant de chaque bloc est re^{i\theta} - a_{ii}.

D'où, le déterminant de re^{i\theta}I - A est le produit de ces déterminants de blocs diagonaux.

Le bloc diagonal  re^{i\theta} - a_{ii} de re^{i\theta}I - A a pour déterminant :

(re^{i\theta} - a_{ii})^{n_i} - \det(B_i)

où B_i est la sous-matrice obtenue en retirant la première ligne et la première colonne de re^{i\theta}I - A, et n_i est la taille de B_i.

Mais je ne vois pas comment simplifier le calcul de \det(re^{i\theta}I - A)  = \sum^{n - 1}_{p = 0} c_p (r e^{i \theta})^{p + 1}

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 06-02-24 à 11:57

Toujours ce problème de degré n-1 au lieu de n.
Il n'y a pas besoin de calculer le déterminant explicitement, et ta toute dernière formule est fausse, sauf si 0 est valeur propre.

\det(re^{i\theta}I - A) = \chi_A(re^{i\theta}) = \left(\sum_{p=0}^n c_p X^p\right)(re^{i\theta}) = \sum_{p=0}^n c_p (re^{i\theta})^p

Donc la somme dans l'avant dernière égalité du 05-02-24 à 18:39, sous l'intégrale est égale à re^{i\theta} \cdot \det(re^{i\theta}I - A)

Maintenant, pour arriver à la forme demandée, tu ne connais pas une célèbre formule qui exprime l'inverse d'une matrice, quand il existe, en fonction de son déterminant et de la transposée de sa comatrice ?

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 06-02-24 à 15:12

Ah mais bien sûr

On a

\begin{aligned} \\ \chi_A(A) &=\dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \left(\sum_{p=0}^{n-1} c_p (r e^{i \theta})^{p+1}\right) (r e^{i \theta} I_n - A)^{-1} d\theta \\ \\ &= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \det(r e^{i \theta} I_n - A) \cdot (r e^{i \theta} I_n - A)^{-1} d\theta \end{aligned}

Or M \text{ inversible } \iff M^{-1} = \dfrac{1}{\det(M)}\com(M)^T

Il vient

\begin{aligned}\chi_A(A) &= \dfrac{1}{2\pi} \int^\pi_{-\pi} \com\left(r e^{i \theta} I - A\right)^T d \theta \\\ \\ &=\dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi r e^{i \theta t} \operatorname{com}\left(r e^{i \theta} I_n-A\right) d \theta .\end{aligned}


Conclusion : \begin{aligned}\boxed{\chi_A(A) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi r e^{i \theta t} \operatorname{com}\left(r e^{i \theta} I_n-A\right) d \theta .}\end{aligned}

4) On a :

\\ \begin{aligned} \\ \chi_A(A) &= \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi r e^{i \theta t} \com\left(r e^{i \theta} I_n-A\right) d \theta. \\ \end{aligned} \\

La comatrice de (r e^{i \theta} I_n - A) est une matrice de taille (n \times n) dont les entrées sont des fonctions périodiques en \theta.

Je ne sais pas comment calculer ce genre d'intégrale mais en intégrant ces fonctions sur \theta de -\pi à \pi, chaque composante de la comatrice contribue de manière égale mais opposée sur l'intervalle complet 2\pi.

Pour la conclusion, \chi_A(A) = 0 signifie que la fonction caractéristique évaluée en la matrice A est nulle.

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 06-02-24 à 15:33

Sur le principe, oui, mais tes formules sont toujours fausses
Il y a toujours ce satané n-1 que tu ne veux pas lacher et un re^{i\theta} a disparu en route

Pour la rédaction j'aurais plutôt procédé ainsi

\begin{array}{rcl} \\ 2\pi\chi_A(A) &=& \int_{-\pi}^\pi re^{i\theta}\cdot \det(re^{i\theta}I-A)\cdot(re^{i\theta}I-A)^{-1}d\theta\\ \\ &=& \int_{-\pi}^\pi re^{i\theta}\cdot \left[\det(re^{i\theta}I-A)I\right]\cdot(re^{i\theta}I-A)^{-1}d\theta\\ \\ &=& \int_{-\pi}^\pi re^{i\theta}\cdot \left[Com(re^{i\theta}I-A)^T\cdot(re^{i\theta}I-A)\right]\cdot(re^{i\theta}I-A)^{-1}d\theta\\ \\ &=& \int_{-\pi}^\pi re^{i\theta}\cdot Com(re^{i\theta}I-A)^Td\theta \\ \end{array}

par associativité du produit matriciel et en utilisant la formule Com(B)^T\cdot B = \det(B)I, qui est valable pour toute matrice B.



Je ne l'ai pas précisé jusqu'ici, mais l'intégrale d'une matrice, c'est la matrice des intégrales.
L'argument qu'il te manque pour la nullité de cette intégrale, c'est de dire que les coefficients de la comatrice de B sont polynomiaux en les coefficients de B.
Or, pour n'importe quel polynôme P, \int_{-\pi}^\pi P(re^{i\theta})d\theta = Q(-r) - Q(-r) = 0, où Q est un polynôme tel que Q' = P

Posté par
matheux14re : Cayley-Hamilton 06-02-24 à 15:37

Merci beaucoup Ulmiere.

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 06-02-24 à 15:39

Oups, coquille un peu malheureuse à la fin. Disons plutôt que


\int_{-\pi}^{\pi} P(re^{i\theta})ire^{i\theta}d\theta = \oint_{D(0,r)} P(z)dz = 0 parce que P est une fonction holomorphe

Posté par
Ulmierere : Cayley-Hamilton 06-02-24 à 15:39


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