Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Centralisateur d'un cycle

Posté par
Milka3 14-08-19 à 12:42

Bonjour,

je dois montrer le résultat suivant :
Montrer que le centralisateur d'un n-cycle $\sigma\in S_n$ est le groupe engendré par $\sigma$ :
$C_{Sn— (\sigma)} =< \sigma >= \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

---

Je bloque car pour moi, le centralisateur est un ensemble.
Aussi, je ne vois pas comment on peut parler de centralisateur d'un élément.

J'ai appris que :
G un groupe
$Z(G)=\{h\in G, \forall g\in G,gh=hg\}$

Dès lors, je n'arrive pas à comprendre comment on peut parler de "centralisateur d'un n-cycle $\sigma\in S_n$ "

Pouvez-vous m'aider ?
Merci

Posté par re : Centralisateur d'un cycle 14-08-19 à 12:47

salut

par extension le centralisateur d'un élément s est l'ensemble $C(s) = \{ x \in G / xs = sx \}$

on démontre que c'est effectivement un groupe et que $Z(G) = \cap_{g \in G} C(g)$ qui est aussi un groupe puisque l'intersection de deux groupes est un groupe ...

il est d'autre part évident que $<s> \subset C(s)$ et c'est l'inclusion inverse qu'il faut montrer ...

Posté par re : Centralisateur d'un cycle 14-08-19 à 12:48

Re,
Le centralisateur d'un élément (ou d'une partie d'un groupe) c'est le centralisateur du sous groupe engendré par cet élément (par cette partie).
C'est trivial de voir que c'est aussi le sous groupe des elements de G qui commutent à ton élément : ils commutent alors à ses puissances et son inverse.
Pour ton exercice rappelles toi que la conjugaison d'un cycle a pour effet de permuter les orbites de ce dernier.

Posté par re : Centralisateur d'un cycle 14-08-19 à 13:09

Merci pour cette précision dans la définition, c'est plus clair.
Ainsi :
Soit $\sigma\in S_n$ un n-cycle.
On veut montrer que $Z(\sigma)=<\sigma>$ .

$\supset$
Soit $\rho\in <\sigma>$ .
Alors il existe $n\in\mathbb{Z}$ tq. $\rho=\sigma^n$
D'où :
$\rho\circ\sigma=\sigma^n\circ\sigma=\sigma\circ\sigma^{n-1}\circ\sigma=\sigma\circ\sigma^n=\sigma\circ\rho$
Donc $\rho\in Z(\sigma)$
---
$\subset$
Soit $\rho\in Z(\sigma)$ alors $\rho\circ\sigma=\sigma\circ\rho$ .
Donc :
$\rho\circ\sigma\circ\rho^{-1}=\sigma$ où $\sigma$ est un n-cycle.

Il existe une partie $\{x_1,...,x_n\}$ tq. $\sigma=(x_1,...,x_n)$ . De sorte que :

$\rho\circ\sigma\circ\rho^{-1}=(\rho(x_1),...,\rho(x_n))$   car deux cycles conjugués ont le même type cyclique.

Ainsi $\rho$   est un n-cycle.

Il me manque l'argument final pour conclure je pense.

Est-ce que :
$\rho$   est un n-cycle et $\sigma$ est un un n-cycle $\Rightarrow \rho\in <\sigma>$

?

Qu'en pensez-vous ?

Posté par re : Centralisateur d'un cycle 14-08-19 à 16:32

La fin de ton argumentation n'est pas satisfaisante, comment déduis tu que rho est un cycle ?

Posté par re : Centralisateur d'un cycle 14-08-19 à 16:38

Dans mon cours, j'ai le résultat suivant :
Le conjugué d'un cycle est un cycle de même longueur. Plus précisément :

Si $c=(x_1,...,x_r)$ est un $r$ -cycle, $r\ge 2$ , alors pour toute permutation $\sigma\in S_n$ :

$\sigma\circ c\circ\sigma^{-1}=(\sigma(x_1),...,\sigma(x_r))$

C'est ce que j'utilise ici.

Posté par re : Centralisateur d'un cycle 14-08-19 à 16:43

Ah, je crois avoir une idée :

Soit $\rho\in Z(\sigma)$ alors $\rho\circ\sigma=\sigma\circ\rho$ .
Donc :
$\rho\circ\sigma\circ\rho^{-1}=\sigma$ où $\sigma$ est un n-cycle.

Puisque $\sigma$ est un n-cycle, il existe une partie $\{x_1,...,x_n\}$ tq. $\sigma=(x_1,...,x_n)$ . De sorte que :

$\rho\circ\sigma\circ\rho^{-1}=(\rho(x_1),...,\rho(x_n))$ car deux cycles conjugués ont le même type cyclique.

On a donc :
$\rho\circ\sigma\circ\rho^{-1}=(\rho(x_1),...,\rho(x_n))=\sigma$

En particulier $(\rho(x_1),...,\rho(x_n))=\sigma$ .

Est-ce correct ?

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

algèbre en post-bac
28 fiches de mathématiques sur "algèbre" en post-bac disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

6 visiteurs

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Centralisateur d'un cycle

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths