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Centralisateur, normalisateur d'un groupe

Posté par
Merli 25-09-11 à 05:16

Bonsoir,

Je revois un peu ma théorie des groupes et je bute littéralement sur les définitions du centralisateur et normalisateur d'une partie de G dans G (G groupe quelconque).

Le centralisateur de A (partie de G) dans G est : C_G(A) := \{x\in G : \forall a\in A, xa=ax\}
Et son normalisateur est : N_G(A) := \{x\in G : xAx^{^1} = A\}.

Mais je n'arrive pas à me représenter une différence entre les deux.

Par exemple pour G=GL_n(\R), on a C_G(A)=N_G(A) pour n'importe quelle matrice A \in GL_n(\R), non ?

Quelque chose m'échappe et je n'arrive plus à mettre la main dessus...

Si quelqu'un a un truc ?... un exemple où C_G(A)\neq N_G(A)


Merci

Merli

Posté par
Bachstelzere : Centralisateur, normalisateur d'un groupe 25-09-11 à 06:09

Bonsoir

Essaie avec un groupe non-abélien.

Posté par
Merlire : Centralisateur, normalisateur d'un groupe 25-09-11 à 06:37

Bonjour,

Justement, dans mon exemple, GL_n(\R) n'est pas abélien, pourtant, si on prend le centralisateur et le normalisateur d'une matrice A dans ce groupe, ils sont égaux, non ?

D'un côté c'est l'ensemble des matrices qui commutent avec A, et de l'autre, c'est l'ensemble des matrices qui laissent A invariante par conjugaison, donc c'est bien pareil, ou ai-je tort ?

Posté par
DOMOREACentralisateur, normalisateur d'un groupe 25-09-11 à 10:10

Bonjour,
Quand tu écris xAx^{-1}=A
cela signifie que pour a de A , il existe a' de A tel que xax^-1}=a'
a' n'est pas nécéssairement a.
Je pense que ta confusion vient de tes notation
D'une part A est une partie de G, et d'autre part dans ton exemple A devient un élément de GL_n(\mathbb{R})

Posté par
Merlire : Centralisateur, normalisateur d'un groupe 25-09-11 à 17:44

Bonjour DOMOREA,

Oui en effet, avant de m'endormir, j'ai compris ce qui m'échappait et c'est ce que tu dis

Merci pour votre temps


Merli


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