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Centre d'un groupe
Bonjour,
voila l'exercice que je dois realisé:
Exercice 1: Centre du groupe (GL2(R), ×)
On considère le groupe (GL2(R), ×) et on pose :
Z = {A ∈ GL2(R), ∀M ∈ GL2(R), A × M = M × A}
1) Montrer que Z n'est pas vide. On pose : E1 =1 0
0 0
E2 =0 1
0 0
On considère une matrice quelconque de GL2(R) :
M =a b
c d
2) Calculer ME1 et E2M. En déduire que si M ∈ Z alors b = c = 0.
3 )Déterminer toutes les matrices de Z.
E1, E2, M sont des matrice
voila mes reponses:
1)j'ai pris A=I(la matrice identité) et M une matrice quelconque et donc pour tout M on a: M*A=A*M.
2)j'ai effectuer les deux multiplication dans les deux sens et pour que M*E1=E1*M il faut que b=c=0. mais je ne vois pas a quoi nous sert la matrice E2.
3) pour cette question je suis un peut perdue. Je ne sais pas s'il faut déterminer les matrices A ou M ou alors les couple de matrice.
merci d'avance pour tout aide
Attention pour la question 2, remarque que E1 et E2 ne sont pas inversibles ... Il y a donc quelque chose à justifier !
Le calcul de avec E2 permet de trouver une condition de plus sur les coefficients de M
Pour la question 3) , en fait la matrice M considérée dans l'énoncé correspondant à une matrice hypothétique de Z. Tu as prouvé en 2) que si , alors M est .... Réciproquement, si M est ... alors elle commute avec toutes les matrices inversibles .
merci zrun de me repondre,
oui effectivement il faut que a=d pour E2.
par contre je ne vois quel justification il faut faire.
3) vu que b=c=0 et a=d M=aI avec a un entier et i la matrice identité.
Donc si M\in Z, alors M est l'identite
C'est ça?
Les matrices de Z sont seulement les matrice aI
Dans le definition du centre , pour , on a seulement
pour A une matrice inversible ... or ni E1, ni E2 n'est inversible ...
Pour la 3 , M est un multiple de l'identité, on dit qu'elle est scalaire !
Je n'ai pas encore vu le centre d'un groupe mais j'ai compris
pour justifier le 2) AM commute si M est scalaire?
et donc pour la trois les matrice de Z sont les Matrices scalaire?
J'ai juste utilisé la définition de Z donné dans le premier post .
Non en fait pour le 2, il faut justifier que si M commute avec toutes les matrices de alors M commute avec toutes les matrices . Pour cela, connais-tu la notion de valeurs propres d'une matrice ?
Pour la 3, oui ce sont les matrices scalaires non nulle
oui je connais mais je vois pas en quoi sa va nous le prouver .
et d'après l'énoncer si A commute avec toutes les matrices de GL2(R) alors A commute avec toutes les matrices Z puisque on dit pour tout M. c'es ça?
désoler mais mon prof est très tatillon sur les détails
Si A commute avec toutes les matrices de , alors
donc a fortiori A commute avec les éléments de Z.
Pour , et
, considères une suite de matrices inversibles qui tend vers M ...
merci pour cette éclaircissement mais je ne vois pourquoi vous m'avez parlé de valeur propre.
Vous voulez calculer les valeur pour une matrice quelconque et montrer que la plus grand valeur propre est M une matrice scalaire.....
Savez-vous montrer que si B est une matrice quelconque de alors il existe une suite
de matrices inversibles telle que
tende vers B ?
Ceci étant démontré , supposons que pour toute matrice N inversible , . Soit L une matrice quelconque . Soit
une suite de matrices inversibles qui tend vers L .
Alors pour tout
. Or , .... donc
.
Il reste à compléter les ...
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