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Centre du groupe des permutations

Posté par
robby3 31-05-24 à 18:34

Bonjour à tous,

Voici l'énoncé du problème:

Citation :
Déterminer le centre de S_n, pour 3\leq n


Voici mon raisonnement:

Le centre de S_n, noté Z(S_n) est l'ensemble des permutations p de S_n qui commutent avec n'importe quel élément \sigma de S_n.
Or si je prend un élément k de \{1,...,\} alors il existe bien une permutation \sigma de S_n qui va laisser fixe k et faire bouger les n-k autres éléments.
Donc je vais avoir \sigma(k)=k.

Ainsi si je prend un élément p de Z(S_n) alors j'aurais
\\ (\sigma o p)(k)=(p o \sigma)(k)=p(\sigma(k))=p(k)
Donc \sigma(p(k))=p(k) \Rightarrow p(k) est invariant par \sigma or le seul élément invariant par \sigma est k donc j'ai p(k) = k d'où p = I_n.

Ainsi Z(S_n)=\{I_n\}.

Est-ce que mon raisonnement est correct ?
Si oui, je ne comprends pas où intervient le 3\leq n

Merci d'avance de vos remarques et de votre aide.

Posté par
carpediemre : Centre du groupe des permutations 31-05-24 à 19:41

salut

ça me semble convenir ... mais tu pouvais utiliser ton sujet précédent en remarquant que \sigma \circ p = p \circ \sigma \iff \sigma \circ p \circ \sigma ^{-1} = Id

et que toute permutation se décompose en produit de cycles disjoints

pourquoi n = 3 : parce que S_1 = \{Id\} $ et $ S_2 = \Z/2 \Z qui sont évidemment "élémentaires" comme groupe

Posté par
robby3re : Centre du groupe des permutations 31-05-24 à 22:24

Carpediem>

Citation :
mais tu pouvais utiliser ton sujet

C'était un l'exercice juste après effectivement mais je n'arrivais pas à m'en sortir clairement...

Par exemple, si je dis que \sigma et \sigma^{-1} se décomposent en produits de cycles à supports disjoints, ça veut dire qu'ils commutent et donc je peux m'arranger pour que p = Id directement, c'est ça ?

Ok pour S_1
S_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} ou bien S_2 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}

Merci de ta réponse !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Centre du groupe des permutations 01-06-24 à 06:57

Bonjour,
Une réponse un peu différente pour "je ne comprends pas où intervient le 3\leq n" :

Citation :
il existe bien une permutation \sigma de S_n qui va laisser fixe k et faire bouger les n-k autres éléments.
Si n = 2, une telle permutation n'existe pas.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Centre du groupe des permutations 01-06-24 à 06:59

Et il y a une coquille :
"qui va laisser fixe k et faire bouger les n-1 autres éléments"

Posté par
robby3re : Centre du groupe des permutations 03-06-24 à 11:25

Bonjour Sylvieg,

Oui, merci pour la coquille !

Effectivement, c'est là qu'intervient le n plus grand que 3.
Merci !

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Centre du groupe des permutations 03-06-24 à 15:29

De rien, et à une autre fois sur l'île \;


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