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Cercle des moindres carrés sans excel
Bonjour à tous,
Je suis confronté au problème suivant :
Je possède les coordonnées X et Y de 5 points mesurés. Ces points sont à peu près sur le même cercle, mais pas exactement car il s'agit de mesure physiques.
Je souhaite obtenir le centre du cercle qui passe au mieux de ces 5 points, c'est à dire le cercle des moindres carrés.
Le résultat sera utilisé sur une chaîne de production (=usine), ce qui signifie que le calcul sera à mener automatiquement, via le calculateur rudimentaire d'une machine de production.
Il ne m'est donc pas possible d'utiliser Excel. Je ne peux faire intervenir que les fonctions mathématiques de base (-,/,+,*, fonctions trigo) ainsi que les fonctions logiques (OU, ET, =,<=,>=,SI)
Auriez-vous des idées, ou sauriez vous comment résoudre ce problème ?
Mes recherches sur le net m'ont orienté vers ce document 
, qui propose une résolution matricielle (page 29 et plus).
Du coup, peut-être qu'il faudrait transformer la résolution matricielle en équations linéaires, mais je ne sais pas comment m'y prendre.
Merci d'avance pour vos réponses
Bonjour
à partir de tes cinq points, tu vas constituer des vecteurs à 5 coordonnées :
un vecteur X =(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)
un vecteur Y=(y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)
un vecteur C = (x_1^2+y_1^2,x_2^2+y_2^2,x_3^2+y_3^2,x_4^2+y_4^2,x_5^2+y_5^2)
un vecteur U=(1,1,1,1,1)
une équation de cercle est du genre x² + y² + ax + by + c = 0
comme les points ne sont pas exactement sur le cercle, on ne va pas trouver exactement zéro
mais on va chercher à trouver quelque chose de petit.
plus exactement par la méthode des moindres carrés, on va chercher à ce que soit la plus petite possible.
cette somme s’interprète dans l'espace à 5 dimension comme le carré de la distance entre notre vecteur C et un vecteur -aX - bY -cU.
Cette distance est la plus petite lorsque le vecteur -aX - bY -cU est le projeté orthogonal de X sur l'espace engendré par X, Y et U.
ce projeté s'obtient en disant que la différence C -(-aX-bY-cU) est orthogonale à cet espace, donc à X, à Y et à U
on écrit ces trois produits scalaires nuls, ça donne un système de trois équations linéaires, en les trois inconnues a, b, c, ce qui permet de les déterminer
ça n'utilise que des calculs types addition, multiplication et division.
Merci lafol pour ta réponse, cependant je n'ai pas vraiment compris (mes bases de maths ne sont pas au top !)
Je ne comprends pas comment tu construis le système d'équation, à partir de la différence que tu mentionne.
De mon coté, j'ai tenté de développer tout le système matriciel dont je parlais, en m'appuyant sur ce document : . Pour vérifier le résultat, j'ai fais un test sur excel, juste pour voir si on trouve bien les coordonnées du centre et le rayon. Et miracle, ça marche!
Le gros défaut de mon calcul, c'est qu'il serait immense à écrire avec des +, -, *, et /, d'autant plus que le nombre de variables est limité dans le calculateur.
Alors que ta méthode, lafol, semble être beaucoup plus simple.
C'est pourquoi j'aimerai beaucoup que tu m'expliques la suite !
Bonjour glc29,
La méthode de régression circulaire directe (non itérative) est très simple à appliquer en pratique (bien que sa théorie soit un peu compliquée, mais peu importe). Il suffit de faire le calcul numérique correspondant aux formules (1), (2)et (3) données pages 12-13 du papier : "Régressions coniques, quadriques, circulaire, sphérique" par le lien :
http://www.scribd.com/JJacquelin/documents
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