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Cercle trigonométrique

Posté par
Ramanujan 06-01-19 à 16:21

Bonjour,

Je veux déterminer combien de points U_{\theta}=(\cos(\theta),\sin(\theta))peut-on former sur le cercle trigo avec cet ensemble :

\{- \dfrac{2 \pi}{15} + \dfrac{ k \pi}{10} , k \in \Z \}

Je vois pas trop comment faire...

Posté par
malou Webmasterre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 16:28

ben fais varier k pour voir combien tu en as entre 0 et 2pi

Posté par
Jezebethre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 16:32

Bonjour

Regarde combien de valeurs entières k on peut caser pour former un intervalle de longueur 2pi, par exemple [0,2*pi].

Posté par
lafol Moderateurre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 16:35

Bonjour
dire qu'on faisait ça en première, il n'y a pas si longtemps ...
si k = 20, kpi/10 = 2pi, on retombe au même endroit que pour k = 0 ....

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 16:36

Je dois tester pour toutes les valeurs de k : -1,0,1, ... c'est pas un peu long ?

Posté par
malou Webmasterre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 16:37

mais on le fait toujours !

Posté par
Jezebethre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 16:38

Ramanujan @ 06-01-2019 à 16:36

Je dois tester pour toutes les valeurs de k : -1,0,1, ... c'est pas un peu long ?


Bien sûr que non voyons !

Posté par
malou Webmasterre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 16:38

non, mais tu peux pas poser une double inéquation ...réfléchis un peu....

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 16:46

Il faut résoudre :

0 \leq - \dfrac{2 \pi}{15} + \dfrac{ k \pi}{10} \leq 2 \pi

Soit : \dfrac{2 \pi}{15} \leq \dfrac{ k \pi}{10} \leq 2 \pi + \dfrac{2\pi}{15}

\dfrac{20 \pi}{15} \leq k \pi \leq 20 \pi + \dfrac{20 \pi}{15}

D'où : \dfrac{20 }{15} \leq k  \leq 20  + \dfrac{20 }{15}

Or \dfrac{20}{15} \approx 1,3

Donc les valeurs possibles sont : [|2,21|]

Il y en a 20

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 16:48

lafol @ 06-01-2019 à 16:35

Bonjour
dire qu'on faisait ça en première, il n'y a pas si longtemps ...
si k = 20, kpi/10 = 2pi, on retombe au même endroit que pour k = 0 ....


Pas mal cette méthode, bien plus rapide que la mienne.

Bah là je suis sur des révisions sur les équations avec congruences et les règles de congruences donc niveau terminale.

Posté par
lafol Moderateurre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 17:19

méfiance avec les méthodes genre "je cherche pour quels k ça tombe entre 0 et 2 pi" : avec un truc genre 0.5 pi + 3kpi, ça fera zapper un point

Posté par
malou Webmasterre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 17:27

exact !

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 17:33

lafol @ 06-01-2019 à 17:19

méfiance avec les méthodes genre "je cherche pour quels k ça tombe entre 0 et 2 pi" : avec un truc genre 0.5 pi + 3kpi, ça fera zapper un point


J'ai pas trop compris.

Posté par
malou Webmasterre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 17:38

eh bien, place les 0.5 pi + 3kpi sur un cercle trigo
combien de points ?

puis fais un encadrement comme précédemment, combien de points ?

Posté par
lionel52re : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 17:52

Ramanujan @ 06-01-2019 à 17:33

lafol @ 06-01-2019 à 17:19

méfiance avec les méthodes genre "je cherche pour quels k ça tombe entre 0 et 2 pi" : avec un truc genre 0.5 pi + 3kpi, ça fera zapper un point


J'ai pas trop compris.


Imagine t'es à 0° et tu avances d'un angle de 365°, bah tu arrives sur un nouveau point et pourtant tu as dépassé les 360°

Posté par
lionel52re : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 17:56

Là tu auras pas le problème parce que tu avances de \pi/n donc tu fais 1 tour complet pour k = 2n

Maintenant si 2n n'est pas entier c'est déjà plus compliqué.

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 17:56

Il y a 4 points.

0 \leq \dfrac{\pi}{2} + 3 k \pi \leq 2 \pi

- \dfrac{\pi}{2} \leq  3 k \pi \leq \dfrac{3\pi}{2}

Donc : - \dfrac{1}{6} \leq   k \leq \dfrac{1}{2}

On trouve que k=0 comment ça se fait ?

Posté par
malou Webmasterre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 17:59

4 points ?

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 18:14

@Lionel
Je suis d'accord l'auteur dit que ce résultat sera démontré lors du chapitre sur les complexes. Et que les M_k appartenant au cercle forment un polygone régulier.

Bah si je place \dfrac{\pi}{2} sur le cercle et que je fais + 3 k \pi

Il y aura les points correspondant aux angles : \pi , \dfrac{3 \pi}{2} , 2 \pi

2 \pi + \dfrac{\pi}{2} je retombe sur mon point initial.

Donc 4 points.

Posté par
malou Webmasterre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 18:17

je commence à fatiguer modération oblige mais

explique comment tu passes de \dfrac{\pi}{2} à \pi par exemple en ajoutant des multiples de 3\pi
etc.

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 18:42

Ah j'avais pas compris la question, si on ajoute 3 \pi on a déjà fait plus d'un tour donc on retombe sur un point qui est déjà placé.

Posté par
malou Webmasterre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 18:46

euh si tu ajoutes 3pi à pi/2, tu ne retombes pas du tout sur un point déjà placé...

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 19:03

Je retombe sur 3pi / 2.

J'ai 2 points (pi/2 et 3pi/2) alors qu'avec l'inégalité j'en ai qu'un seul.

Posté par
malou Webmasterre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 19:17

oui, c'est ça

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 20:56

Du coup quelle est la méthode qui marche à tous les coups ?

Posté par
lafol Moderateurre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 21:15

réfléchir ....

Posté par
Ramanujanre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 22:18

J'ai compris, il faut partir du premier point et ajouter 2 \pi et on retombe sur le premier point.

Pas forcément partir de 0.

Posté par
lafol Moderateurre : Cercle trigonométrique 06-01-19 à 22:40

mais ça peut aussi être "ajouter 6pi" comme dans l'exemple que j'ai donné ....


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