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Cercles inscrits dans un rectangle

Posté par
VBHM
14-01-17 à 23:04

Bonjour tout le monde, j'aurais besoin d'aide pour resoudre cette "enigme".
AD=4 cm et AB=2cm
Les 3 cercles inscrits sont de meme rayon R, tangents entre eux, et tangents aux cotés du rectangle.
Calculez la valeur de R en cm.

Cercles inscrits dans un rectangle

Posté par
VBHM
re : Cercles inscrits dans un rectangle 14-01-17 à 23:07

oui j'ai oublié I milieu de [AD] et J milieu de [BC]


Posté par
vham
re : Cercles inscrits dans un rectangle 14-01-17 à 23:34

Bonsoir,

en admettant comme dans la figure : AB=4 cm et AD=2cm
et non AD=4 cm et AB=2cm comme dans l'énoncé, Pythagore permet de trouver
r=.... - 27

Posté par
VBHM
re : Cercles inscrits dans un rectangle 15-01-17 à 08:42

Merci de votre aide, cependant cela ne m'avance pas plus. En effet j'ai deja essayé avec pythagore pour determiner leurs rayons
j'ai par exemple essayé de determiner IB avec les rayons tel que : IB = 2r+x
et comme IB=8 , 8 = 2r+x
je me retrouve donc avec deux inconnues et je ne suis pas plus avancé ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercles inscrits dans un rectangle 15-01-17 à 09:22

Bonjour,

c'est toi qui crées cette inconnue x qui n'existe pas ...
trace les rayons utiles sur la figure et écrit R dessus
ce sont les seules inconnues.

Cercles inscrits dans un rectangle

écrire Pythagore dans le triangle EGK donne une équation (du second degré) en la seule inconnue R
il n'y a aucune autre inconnue à créer
EK et GK s'expriment simplement en fonction de R (de simples différences de longueurs)
EG est encore plus simple.

Posté par
VBHM
re : Cercles inscrits dans un rectangle 15-01-17 à 10:08

a oui merci j'y suis arrivé, j'ai trouvé deux solutions avec une seule appartenant au deomaine de definition de R
mais j'ai encore une queston, e domaine de defnition de R est t-il I=]0;2[ ou [0;2] ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercles inscrits dans un rectangle 15-01-17 à 18:37

R > 0 ou R ≥ 0 (un rayon est forcement positif)
selon que on accepte ou pas un cercle de rayon nul ("cercle-point")

la valeur maxi de R est due au fait que les cercles sont à l'intérieur du rectangle, donc leur diamètre est inférieur à la largeur du rectangle.

2R ≤ 2 (cm)

donc [0; 1] ou ]0; 1]
la borne maximale est incluse car on pourrait avoir à priori ça (rayons inégaux bien entendu !! pour des rayons égaux il n'y a qu'une seule valeur de R, celle calculée précédemment)

Cercles inscrits dans un rectangle

ou pareil pour le cercle tangent en I qui pourrait tout à fait remplir la largeur de rectangle

Cercles inscrits dans un rectangle

(on voit d'ailleurs que le plus petit rayon réel des deux est ≥ un certain Rmin strictement > 0, mais bon on ne va pas s'enquiquiner à calculer le rayon Rmin du petit cercle de la 1ère figure non plus !!)

Posté par
propXI
re : Cercles inscrits dans un rectangle 22-10-20 à 16:19

Bonjour,
J'ai également ce problème à résoudre et je me heurte à certaines difficultés. Même si vos explications m'ont déjà aidée à comprendre un peu mieux l'exercice, il me reste quelques questions. Je ne comprends effectivement pas comment faire Pythagore au niveau du triangle EGK car je n'arrive pas à exprimer GK et EK, comme vous le dites "en fonction de R".
Merci d'avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercles inscrits dans un rectangle 22-10-20 à 16:39

bonjour,

tu le vois mieux comme ça ?

Cercles inscrits dans un rectangle

simple soustraction le long de BC
et simple soustraction le long de IB

Posté par
propXI
re : Cercles inscrits dans un rectangle 22-10-20 à 16:52

Oui merci beaucoup pour votre réponse et pour sa rapidité ! Je vais essayer d'aboutir à l'équation du second degré que vous avez précédemment mentionné.

Posté par
matou2908
re : Cercles inscrits dans un rectangle 26-10-20 à 11:48

Bonjour,
J'ai le même exercice et je ne parviens pas à comprendre les étapes de la résolution du problème. Pouvez-vous me les expliquer s'il vous plaît.
Merci d'avance.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercles inscrits dans un rectangle 26-10-20 à 12:04

que ne comprends tu pas précisément dans la discussion ? tout est dit !

en résumé :

en appelant R (inconnu) le rayon des cercles
on exprime les côtés du triangle EGK en fonction de R
(ma figure bien détaillée du 22-10-20 à 16:39)

l'écriture de Pythagore dans ce triangle donne alors une équation en l'inconnue R

équation que l'on résout

ce qui donne la valeur de R.
terminé.

Posté par
matou2908
re : Cercles inscrits dans un rectangle 26-10-20 à 12:18

L'écriture de Pythagore dans ce rectangle donne :
EF²=FK²+EK²
ainsi : R²=FK²+EK²
mais pour résoudre l'équation il nous faut les valeurs de FK et EK. Mais elles nous sont elles aussi inconnues  . Donc comment les trouver ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercles inscrits dans un rectangle 26-10-20 à 12:34

ce qui est écrit :

exprimer les côtés en fonction de R

GK et EK s'expriment en fonction de R
"simple soustraction le long de BC"
"et simple soustraction le long de IB"

voir la figure citée, avec les noms de points de cette figure, sinon toute discussion est totalement impossible si on parle d'une autre figure avec d'autres noms de points et que cette figure là on ne l'a même pas !

partout où les segments sont codés égaux, c'est R
(il y a plein de carrés et rectangles un peu partout avec la définition de "tangente à un cercle" pour assurer ces égalités)

Posté par
matou2908
re : Cercles inscrits dans un rectangle 26-10-20 à 12:45

Erreur de ma part, je me suis trompé de lettre pour les points.
Je ne comprend tout de même pas d'où sort la soustraction que l'on doit faire, à quoi ressemble cette soustraction ? Quel est le nombre que l'on doit soustraire ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercles inscrits dans un rectangle 26-10-20 à 13:32

nouvelle figure encore plus détaillée

Cercles inscrits dans un rectangle

plus détaillé que ça tu meurs ...

GK = HM car c'est un rectangle (des angles droit ...)
HM = BC - CH - BM = BC - 2R = 2 - 2R

car CH = CU = GH = GU = R (un carré, le cercle est tangent)
etc

nota :
tu dis EG = R c'est faux, EG = 2R

Posté par
matou2908
re : Cercles inscrits dans un rectangle 27-10-20 à 11:37

Merci de votre aide. J'ai pu y arriver )

Posté par
aaaaarbbb
re : Cercles inscrits dans un rectangle 27-10-20 à 19:06

Bonsoir, après avoir lu tous vos messages, j'arrive à l'équation :
(2R)^2=(2-2R)^2+(2-R)^2
=4R^2=8-12R+5R^2
Or je ne comprends pas comment résoudre cette équation?

PS: ^=puissance
Merci d'avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Cercles inscrits dans un rectangle 27-10-20 à 19:13

tout mettre du même côté et réduire

on obtient une équation du second degré,
voir le cours pour la résoudre.



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