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cette limite existe-t-elle ?

Posté par
andrétou 04-02-06 à 11:48

Bonjour tout le monde
Pouvez-vous svp me donner un petit coup de main pour trouver la limite, si jamais elle existe, quand X tend vers 0 de :

(cosX)^{\frac{1}{sin^2 X}}

Bien à tous
André

Posté par
kaiser Moderateurre : cette limite existe-t-elle ? 04-02-06 à 11:55

Bonjour andrétou

Connais-tu les DL et les équivalents ?

Kaiser

Posté par
Bourricotre : cette limite existe-t-elle ? 04-02-06 à 11:55

Bonjour,

le site

http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi

donne \frac{1}{\sqrt{e}} mais je n'ai pas cherché à le démontrer

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : cette limite existe-t-elle ? 04-02-06 à 12:01

Ma calculatrice propose le même résultat.

Posté par
Bourricotre : cette limite existe-t-elle ? 04-02-06 à 12:05

Je pense que le développement limité doit servir.

Au passage le site cité donne aussi les DL. Pour contrôler ses calculs c'est pratique.

Posté par
kaiser Moderateurre : cette limite existe-t-elle ? 04-02-06 à 12:07

Pour x proche de 0, f(x) est strictement positif car cos(x) l'est.

L'écriture ln(f(x)) a donc bien un sens pour x proche de 0.
ln(f(x))=\frac{ln(cos(x))}{sin^{2}(x)}

Or ln(cos(x))=ln(1+(cos(x)-1))~cos(x)-1~-\frac{x^{2}}{2}

et sin^{2}(x)~x^{2}

On en déduit que ln(f(x))~\frac{-\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}=-\frac{1}{2}

Par continuité de l'exponentielle, quand x tend vers 0, f(x) tend vers e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{e}}

Kaiser

Posté par
andrétoure : cette limite existe-t-elle ? 04-02-06 à 12:54

merci à tous et à Kaiser !
Bon week end
André

Posté par
kaiser Moderateurre : cette limite existe-t-elle ? 04-02-06 à 12:55

Mais je t'en prie !


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