Niveau Maths sup

ch (3t)

Posté par rust (invité) 14-09-05 à 21:09

bonjour,

je dois exprimer $ch(3t)$ en fonction de $ch(t)$ .

pouvez-vous me mettre sur la voie ?
merci

Posté par biondo (invité)re : ch (3t) 14-09-05 à 21:43

Salut,

Juste un indice:

calcule ch(t) au cube en l'exprimant sous forme sous forme d'exponentielles... Ca devrait faire apparaitre des choses...

A+
biondo

Posté par jayce (invité)ch (3t) 14-09-05 à 21:52

$ch(t)=\frac{e^t+e^{-tx}}{2}$

on démontre facilement en développant les e^x, en faisant apparaitre les bons facteurs:

$ch(2t)=2ch^2(t)-1$
ch(a+b)=ch(a)ch(b)+sh(b)sh(a)
sh(2t)=2ch(t)sh(t)
$ch^2(t)-sh^2(t)=1$

ch(3t)=ch(t+2t)=ch(t)ch(2t)+sh(2t)sh(t)
$= ch(t)(2ch^2(t)-1)+ 2ch(t)sh(t).sh(t)$
$= 2ch^3(t) - ch(t)+ 2ch(t)(1+ch^2(t))$
= $2ch^3(t) - ch(t)+ 2ch(t) +2ch^3(t))$
$= 4ch^3(t) +ch(t)$

mais il faut vérifier

Posté par re : ch (3t) 14-09-05 à 22:16

ce resultat me semble faux, en effet pour t=0 tu a ch(0)=4ch^3(0) + ch(0) sois 1 =5 ^^

En genral pour calculer ch(nx) ou sh(nx) on procede de cette facon (tous a fais analogue au calcule de sin(nx) et cos(nx) d'ailleur:

ch(x) + sh(x) = e^x par definition

d'ou :

ch(nx)+sh(nx) =(ch(x)+sh(x))^n puis on develope avec la formule du binome et dans le developent les therme pair ce regroupe pour fourmer ch(nx) et les therme impaire pour former sh(nx) (d'apres l'unicite de la separtion en parti pair/parti impaire d'un fonction)

ici :

(ch+sh)^3 = ch^3 + sh^3 + 3ch*sh²+3sh*ch²

ensuite tu extrai les therme pair (cad ceux ou l'exposant de sh est pair)

sois (sauf erreur de ma part) ch^3+3ch*sh²

d'ou :

ch(3t) = ch(t)^3+3ch(t)*sh(t)^2