Niveau maths spé

Chaîne de Markov

Posté par
Jean1418 02-03-23 à 18:26

Bonjour,
Pour $(X_n)$ une chaîne de Markov (homogène), comment montrer que $P(X_{n+1}=i_{n+1},...,X_{n+p}=i_{n+p} | X_0=i_0,...,X_{n}=i_n)=P(X_1=i_{n+1},...,X_p=i_{n+p} | X_0=i_n)$
si $P(X_1=i_{n+1},...,X_p=i_{n+p})>0$

Posté par re : Chaîne de Markov 02-03-23 à 18:26

Mes divers essais n'aboutissent pas

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 11:31

Ca s'appelle la propriété de Markov et ça peut être pris comme définition.

Quelle est la définition de ton cours pour une chaîne de Markov ? En termes de matrice de transition ? Juste d'un opérateur P ? De générateur infinitésimal ? D'équations de Kolmogorov ? Résolvante ? etc

Y'a fort à parier que ce soit la première ou la deuxième au niveau prépa

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 16:30

Une $(X_n)$ de VA à valeur dans $[1,N]$ est une chaîne de Markov si
$\forall n \in \mathbb{N} \ \ \forall i_0,...,i_N \in \{1,N\}, \ \mathbb{P}(X_{n+1}=i_{n+1} | X_0=i_0,...,X_n=i_n)=\mathbb{P}(X_{n+1}=i_{n+1} | X_n = i_n)$

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 16:30

Une suite*

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 19:31

Voilà, aux erreurs de notation près ( $\{1,\cdots,N\}$ au lieu de $[1,N]$ et $\{1,N\}$ ), c'est une chaîne de Markov pas forcément homogène à espace d'états fini $E = [\![1,N]\!]$ .
Ca contredit ton énoncé qui demande une chaîne de Markov homogène...

Maintenant, si dans ta définition tu mets $P(X_1 = i_{n+1} | X_0 = i_n)$ à droite du signe =, pour avoir une chaîne homogène, remarque que pour n, tu as $P(X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) = P(X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n)$ , ce qui est une initialisation pour p = 1 d'une récurrence.

Pour l'hérédite, si l'égalité de l'énoncé est vraie jusqu'au rang p, alors

$\begin{array}{lcl} \\ P(X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0)P(X_{n+p+1} =  x_{n+p+1},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) &=& P(X_{n+p+1} = x_{n+p+1},\cdots,X_0 = x_0) \\ &=& P(X_{n+p+1} = x_{n+p+1} | X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_0 = x_0)P(X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_0 = x_0) \\ &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p})P(X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_0 = x_0) \\ &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p}) \times P(X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0)P(X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) \\ \end{array}$

En simplifiant (pourquoi peut-on considérer que c'est possible ?) et en utilisant l'hypothèse de récurrence

$\begin{array}{lcl} \\ P(X_{n+p+1} =  x_{n+p+1},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p}) \times P(X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) \\ &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p}) \times P(X_p = x_{n+p},\cdots,X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n) \\ &=& P(X_{p+1} = x_{n+p+1} | X_p = x_{n+p}) \times P(X_p = x_{n+p},\cdots,X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n) \\ \end{array}$

Enfin,
$\begin{array}{lcl} \\ P(X_0 = x_n)P(X_{p+1}=x_{n+p+1}, \cdots, X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n) &=& P(X_{p+1}=x_{n+p+1}, \cdots, X_1 = x_{n+1}, X_0 = x_n) \\ &=& P(X_{p+1}=x_{n+p+1} | X_p = x_{n+p}, \cdots, X_1 = x_{n+1}, X_0 = x_n)P(X_p = x_{n+p}, \cdots, X_1 = x_{n+1}, X_0 = x_n) \\ &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p}) \times P(X_p = x_{n+p}, \cdots, X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n)P(X_0 = n) \\ \end{array}$

et une dernière simplification (pourquoi c'est possible ?) conduit à
$P(X_{p+1}=x_{n+p+1}, \cdots, X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n) = P(X_{n+p+1} =  x_{n+p+1},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0)$ et donc à la véracité de l'assertion au rang p+1

Il y a des moyens plus rapides de conclure, mais j'espère que le calcul est clair
A titre d'exercice, tu peux montrer qu'en fait on a même

$P((X_n,X_{n+1},\cdots) \in A | (X_n,\cdots,X_0)\in B, X_n = x_n) = P((X_0,X_1,\cdots)\in A | X_0 = x_n)$

pour tous deux ensembles mesurables $A\in \mathcal{E}^{\otimes \N}$ et $B\in \mathcal{E}^{\otimes (n+1)}$ .
Ou en français : "pour une chaîne de Markov, prédire le futur à partir du présent et du passé est la même chose que de le prédire à partir de seulement le présent"

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 19:32

Bonjour,
Commence petit, avec $P(X_1=i_2,\; X_3=i_3\mid X_0=i_0,\; X_1=i_1)$ . Et n'oublie pas que $P(A\cap B\mid C)=P(A\mid C)\times P(B\mid A\cap C)$ .

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