Niveau maths spé

Chaîne de Markov

Posté par
Jean1418 02-03-23 à 18:26

Bonjour,
Pour $(X_n)$ une chaîne de Markov (homogène), comment montrer que $P(X_{n+1}=i_{n+1},...,X_{n+p}=i_{n+p} | X_0=i_0,...,X_{n}=i_n)=P(X_1=i_{n+1},...,X_p=i_{n+p} | X_0=i_n)$
si $P(X_1=i_{n+1},...,X_p=i_{n+p})>0$

Posté par re : Chaîne de Markov 02-03-23 à 18:26

Mes divers essais n'aboutissent pas

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 11:31

Ca s'appelle la propriété de Markov et ça peut être pris comme définition.

Quelle est la définition de ton cours pour une chaîne de Markov ? En termes de matrice de transition ? Juste d'un opérateur P ? De générateur infinitésimal ? D'équations de Kolmogorov ? Résolvante ? etc

Y'a fort à parier que ce soit la première ou la deuxième au niveau prépa

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 16:30

Une $(X_n)$ de VA à valeur dans $[1,N]$ est une chaîne de Markov si
$\forall n \in \mathbb{N} \ \ \forall i_0,...,i_N \in \{1,N\}, \ \mathbb{P}(X_{n+1}=i_{n+1} | X_0=i_0,...,X_n=i_n)=\mathbb{P}(X_{n+1}=i_{n+1} | X_n = i_n)$

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 16:30

Une suite*

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 19:31

Voilà, aux erreurs de notation près ( $\{1,\cdots,N\}$ au lieu de $[1,N]$ et $\{1,N\}$ ), c'est une chaîne de Markov pas forcément homogène à espace d'états fini $E = [\![1,N]\!]$ .
Ca contredit ton énoncé qui demande une chaîne de Markov homogène...

Maintenant, si dans ta définition tu mets $P(X_1 = i_{n+1} | X_0 = i_n)$ à droite du signe =, pour avoir une chaîne homogène, remarque que pour n, tu as $P(X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) = P(X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n)$ , ce qui est une initialisation pour p = 1 d'une récurrence.

Pour l'hérédite, si l'égalité de l'énoncé est vraie jusqu'au rang p, alors

$\begin{array}{lcl} \\ P(X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0)P(X_{n+p+1} =  x_{n+p+1},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) &=& P(X_{n+p+1} = x_{n+p+1},\cdots,X_0 = x_0) \\ &=& P(X_{n+p+1} = x_{n+p+1} | X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_0 = x_0)P(X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_0 = x_0) \\ &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p})P(X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_0 = x_0) \\ &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p}) \times P(X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0)P(X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) \\ \end{array}$

En simplifiant (pourquoi peut-on considérer que c'est possible ?) et en utilisant l'hypothèse de récurrence

$\begin{array}{lcl} \\ P(X_{n+p+1} =  x_{n+p+1},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p}) \times P(X_{n+p} = x_{n+p},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0) \\ &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p}) \times P(X_p = x_{n+p},\cdots,X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n) \\ &=& P(X_{p+1} = x_{n+p+1} | X_p = x_{n+p}) \times P(X_p = x_{n+p},\cdots,X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n) \\ \end{array}$

Enfin,
$\begin{array}{lcl} \\ P(X_0 = x_n)P(X_{p+1}=x_{n+p+1}, \cdots, X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n) &=& P(X_{p+1}=x_{n+p+1}, \cdots, X_1 = x_{n+1}, X_0 = x_n) \\ &=& P(X_{p+1}=x_{n+p+1} | X_p = x_{n+p}, \cdots, X_1 = x_{n+1}, X_0 = x_n)P(X_p = x_{n+p}, \cdots, X_1 = x_{n+1}, X_0 = x_n) \\ &=& P(X_1 = x_{n+p+1} | X_0 = x_{n+p}) \times P(X_p = x_{n+p}, \cdots, X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n)P(X_0 = n) \\ \end{array}$

et une dernière simplification (pourquoi c'est possible ?) conduit à
$P(X_{p+1}=x_{n+p+1}, \cdots, X_1 = x_{n+1} | X_0 = x_n) = P(X_{n+p+1} =  x_{n+p+1},\cdots,X_{n+1} = x_{n+1} | X_n = x_n, \cdots, X_0 = x_0)$ et donc à la véracité de l'assertion au rang p+1

Il y a des moyens plus rapides de conclure, mais j'espère que le calcul est clair
A titre d'exercice, tu peux montrer qu'en fait on a même

$P((X_n,X_{n+1},\cdots) \in A | (X_n,\cdots,X_0)\in B, X_n = x_n) = P((X_0,X_1,\cdots)\in A | X_0 = x_n)$

pour tous deux ensembles mesurables $A\in \mathcal{E}^{\otimes \N}$ et $B\in \mathcal{E}^{\otimes (n+1)}$ .
Ou en français : "pour une chaîne de Markov, prédire le futur à partir du présent et du passé est la même chose que de le prédire à partir de seulement le présent"

Posté par re : Chaîne de Markov 03-03-23 à 19:32

Bonjour,
Commence petit, avec $P(X_1=i_2,\; X_3=i_3\mid X_0=i_0,\; X_1=i_1)$ . Et n'oublie pas que $P(A\cap B\mid C)=P(A\mid C)\times P(B\mid A\cap C)$ .

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

probabilités en post-bac
1 fiches de mathématiques sur "probabilités" en post-bac disponibles.

Le site a rencontré un problème temporaire.
Merci de retenter l'opération plus tard

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

Chaîne de Markov

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths