Bonsoir,

"Pour Omega il a un "trou" en (0, 0)".
En es-tu sûr?

Tu lis :l'ensemble de départ Omega = R^2 / {(0,0)}


Alain

1.V : (x,y) (x² + y²)^-1/2/2 (de = ² \ { (0,0) } vers ) admet des dp de tout ordre et (D₁V ,  D₂V) = F

2. n'est pas convexe.Il est connexe par arcs donc connexe . Il n'est pas simplement connexe .

3.Quel est le théorème où il y a : " Rot(H) = 0 "et  " H dérive d'un potentiel " (H étant un champ de vecteurs sur un ouvert U)

Pour voir où ça déraille : Il n'y a de rotationnel d'un champ H que si H part d'un  U de ³ arrive dans et est de classe C1 au moins .
Or ici est un ouvert de ² . Si tu tiens à ton rotationnel il te faut donc poser U = ³ \ (0,0) , qui est simplement connexe , et considérer H : U défini par : H(x,y,z) = (-x/(x²+y²)²,-y/(x²+y²)²,z) si (x,y) (0,0) .
  

Tout d'abord, merci pour vos réponses, j'ai pu avancer un petit peu.

Mon théorème me dit que la condition rot(F) = 0 est nécessaire mais pas suffisante pour que F dérive d'un potentiel.
Pour conclure, il me dit qu'il faut, de plus:
1. convexe ou plus généralement simplement connexe (ce qu'il n'est pas ici);
2. ou alors que soit un domaine, ce qui correspond à être ouvert et connexe. On est dans ce cas ici.

Si rot(F) = 0 et que 1 ou 2 est vrai, alors F dérive d'un potentiel f unique à une constante près, selon ce théorème.

Cependant, il y a toujours quelque chose qui me chiffonne. Dans un exemple de mon cours, avec le même , et un rotationnel nul, la conclusion est que le champ vectoriel ne dérive pas d'un potentiel car il existe une courbe tel que 0.

Ceci semble contredire mon théorème, malgré les deux conditions remplies... Qu'est-ce qui me dit qu'il n'existe pas de tel pour le problème posé en début de topic ?

Merci à ceux qui prendront le temps d'éclairer ma lanterne, une fois de plus.

Tu ne présentes pas correctement les données et hypothèses du théorème que tu invoques qui commence par

Si on a :
.U un ouvert de ³
.H : U   ³ de classe C1
...etc.

Or dans ton exercice tu as un ouvert de ² et F : .

J'en profite pour corriger une erreur que j'ai faite le 07-10-11 à 21:23: ³ \ {(0,0)} n'est pas simplement connexe.

Merci de ta réponse!

Mon théorème parle de ⁿ ouvert et FC¹(;ⁿ), je ne vois rien qui m'empèche de l'utiliser pour mon problème, et pourquoi dans certains cas on peut faire appel à une courbe fermée.

Je suis tombé sur livre que j'utilise sur google books. Voici le théorème qu'on me donne:

Peut-être que le problème vient de la définition du théorème dont je dispose...