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Change variable change!!

Posté par Mayo (invité) 27-09-05 à 22:11

humm quel titre accrocheur n'est-ce pas?
bon sinon je me demandais comment on pouvait voir le changement de variable :
t=-(p+1)lnz quand on a qu'une experience limitée des maths, dans l'intégrale:
I_{p,q}=\int_{0}^1 z^{p}\left(lnz\right)^{q}dz
Merci par avance

Posté par Mayo (invité)re : Change variable change!! 27-09-05 à 22:55

ah personne  ne se sent concerné?

Posté par
kachouyabre : Change variable change!! 28-09-05 à 00:30

Bonsoir
t= - (p+1)lnz]dt=- (p+1)dz/z et3$z=e^{\frac{-t}{p+1}
donc;  3$z^pdz=-e^{-t}\frac{dt}{p+1}   et3$(lnz)^q=(\frac{-t}{p+1})^q
z0t+
z=1t=0
  donc    4$\red\fbox{I=\frac{(-1)^q}{(p+1)^{q+1}}\int_0^{+\infty}t^qe^{-t}dt}

Sauf erreur

Posté par Concupiscence (invité)re : Change variable change!! 28-09-05 à 00:34

derive t pour voir :/
dt = (-(p+1)dz)/z
donc dz=-(z*dt)/(p+1)
mais ca donne rien :/
Sauf que en reinjectant deds magie magie et vos idée ont du génie :p
ca donne miracle mathématique (50 prieres ce soir pour ce miracle)
(dsl j écris pas l intégral) :p
I=-(z^p+ln(z)^q)*(z*dt)/(p+1) on remplace par notre dz trouvé :p et la on voir que t = -((p+1)dz)/z
I=-(z^(p+1)*t dt)/(p+1)²
ca c est beau et la l integrale ressemble a 1 truc mieux nan??ha na peut etre pas :$
apres faut voir jpense ca se résoud a toi de jouer sinon vais devoir me creuser encore la tete :/
et la j arrive bientot a la machoire faudrait pas que je vois ma langue pendre par terre :p

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Change variable change!! 28-09-05 à 03:14

Bonsoir;
S'il s'agit du calcul de I_{p,q} ce changement de variable n'est pas inévitable car en effet une intégration par parties avec \fbox{u'(z)=z^p\\v(z)=ln^{q}(z)} donne que 2$\fbox{I_{p,q}=\[\frac{z^{p+1}}{p+1}ln^{q}(z)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{z^{p+1}}{p+1}\frac{q}{z}ln^{q-1}(z)dz} c'est à dire que:
4$\blue\fbox{I_{p,q}= -\frac{q}{p+1}I_{p,q-1}} par produit on a que 4$\fbox{\Bigprod_{k=1}^{q}I_{p,k}=\Bigprod_{k=1}^{q}(-\frac{k}{p+1})\Bigprod_{k=0}^{q-1}I_{p,k}}
et en simplifiant par \fbox{\Bigprod_{k=1}^{q-1}I_{p,k}\neq0} il vient que:
4$\fbox{I_{p,q}=\frac{(-1)^{q}q!}{(p+1)^q}I_{p,0}} c'est à dire que 5$\red\fbox{\fbox{I_{p,q}=\frac{(-1)^{q}q!}{(p+1)^{q+1}}}}

remarque: en comparant au résultat de kachouyab on voit que: 3$\blue\fbox{\int_{0}^{+\infty}t^{q}e^{-t}dt=q!}
Sauf erreur bien entendu

Posté par Mayo (invité)re : Change variable change!! 28-09-05 à 07:05

vous m'avez mal compris
J'arrive tres bien à gerer ce changement
je demandais juste comment le remarquer si il n'est pas donner

Posté par
piepalmre : Change variable change!! 28-09-05 à 08:30

Les exponentielles sont généralement plus simples à intégrer que les logarithmes, d'où l'idée de poser u=lnz; l'idée de poser t=-(p+1)u apparait dans un second temps...
En effet, le changement en un seul coup peut paraitre sortir d'un chapeau!


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