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changement de variable

Posté par jacko78 (invité) 16-04-05 à 16:07

Bonjour, je rame un peu sur les changements de variables dans les integrales, pouvez vous m'aider ?

\Bigint_0^u \frac{sh(2x)}{1+ch(x)} dx

Pour celui ci j'ai voulu poser t=exp(x) et integrer de 1 a exp(u) mais je trouve au final une fraction rationnelle compliquée.

\Bigint_1^u \frac{\sqrt{x+1}}{x} dx

Celle ci c'est le flou total

Merci de votre aide

Posté par aicko (invité)un indice 16-04-05 à 16:23

soit f(x) = \frac{sh2x}{1+chx}

d'apres les formules de trigonometrie tu as 1+ch2x=2ch^2 x
dc f(x) = \frac{sh2x} {2ch^2(x/2)}

il faut reconnaitre la forme f(x)= \frac{- U '}{U^2}

en effet la derivée de 1/ch(x/2) = - (1/2)ch(x/2)sh(x/2)/ch^2(x/2)

Posté par
Nightmarere : changement de variable 16-04-05 à 16:27

Bonjour

Pour le deuxiéme poser \sqrt{x+1}=u


Jord

Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 16-04-05 à 18:08

je ne suis pas d'accord avec ta dérivée aicko pour moi il n'y a pas le ch(x/2)

Posté par aicko (invité)en effet 16-04-05 à 18:15

erreur de ma part
en effet la derivée de 1/ch(x/2) = - (1/2)sh(x/2)/ch^2(x/2)




Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 16-04-05 à 18:21

Dans ce cas comment dois je proceder ??

Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 16-04-05 à 23:28

S'il vous plait je sais vraiment pas comment procéder pour y arriver, surtout pour la premiere je ne vois pas quel changement de variable utiliser... Et pour la seconde j'ai fait ce que nightmare m'a recommandé mais je bloque a la fin sur une integration avec du ln(|t²-1|).

Vraiment ce serait genial que quelqu'un puisse me venir en aide...
Merci

Posté par
Nightmarere : changement de variable 16-04-05 à 23:42

Re

Bon alors , on pose :
\sqrt{x+1}=u
=>
x=u^{2}-1
donc
dx=2udu

On obtient alors :

I=\Bigint \frac{u\times 2udu}{u^{2}-1}
soit
I=2\Bigint \frac{u^{2}}{u^{2}-1}du
ie
I=2\Bigint \frac{u^{2}-1+1}{u^{2}-1}du
=>
I=2\Bigint 1+\frac{1}{u^{2}-1}du

En faisant une décomposition en élément simple , on trouvera :
\frac{1}{u^{2}-1}=\frac{1}{2(u-1)}+\frac{1}{2(u+1)}
donc :
I=2\(u+\frac{1}{2}ln|u-1|+\frac{1}{2}ln|u+1|\)+C
soit
I=2u+ln|u-1|+ln|u+1|+C

En revenant à x :
I=2\sqrt{x+1}+ln|\sqrt{x+1}-1|+ln(\sqrt{x+1}+1)+C


Jord

Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 17-04-05 à 14:49

Ok merci pour celle ci j'ai reussi avec ce que tu m'as dit, mais pour la premiere que j'ai donné j'ai l'impression que le changement de variable x=ln(t) complique considerablement la chose, quelqu'un pourrait m'aider ?

Posté par
Nightmarere : changement de variable 17-04-05 à 15:39

Re

Non ça ne la complique pas , au contraire ça la simplifie .

On a :
J=\Bigint \frac{sh(2x)}{1+ch(x)}dx
soit :
J=\Bigint \frac{e^{2x}-e^{-2x}}{2+e^{x}+e^{-x}}dx

Aprés quelques manipulations , on obtient :
J=\Bigint \frac{e^{4x}-1}{e^{3x}+2e^{2x}+e^{x}}dx

On pose alors x=ln(u)\Longrightarrow dx=\frac{du}{u}

il advient :
J=\Bigint \frac{u^{4}-1}{u^{4}+2u^{3}+u^{2}}du

Ensuite , on peut écrire :
u^{4}-1=(u^{4}+2u^{3}+u^{2}}-2u^{3}-u^{2}-1
donc
J=u+\Bigint \frac{-2u^{3}-u^{2}-1}{u^{4}+2u^{3}+u^{2}}du

Tu peux faire une décomposition en élément simple en remarquant que u^{4}+2u^{3}+u^{2}=u^{2}(u+1)^{2}

Je te laisse terminer


Jord

Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 17-04-05 à 16:30

C'est ce que j'essaye de faire mais apres quand je redecompose le seul et dernier membre que je ne parviens pas a calculer est \Bigint \frac{1}{t^2(t+1)^2} dt

Posté par
Nightmarere : changement de variable 17-04-05 à 16:32

Comment as tu obtenue \frac{1}{t^{2}(t+1)^{2}}dt aprés avoir fais la décomposition en élément simple

Normalement tu devrais trouver quelque chose sous la forme : \frac{A}{u}+\frac{Bu+C}{u^{2}}+\frac{D}{u+1}+\frac{Eu+F}{(u+1)^{2}}


Jord

Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 17-04-05 à 18:39

En fait j'ai fait :

\Bigint \frac{-2u^3-u^2-1}{u^4+2u^3+u^2} du = -2\Bigint \frac{u}{(u+1)^2} du - \Bigint \frac{1}{(u+1)^2} du - \Bigint \frac{1}{u^2(u+1)^2} du et je n'arrive pas a calculer le dernier membre

Posté par
Nightmarere : changement de variable 17-04-05 à 18:44

mais pourquoi as-tu fais ça ? ce n'est pas une décomposition en élément simple et ça ne simplifie en rien le probléme !!

Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 17-04-05 à 18:47

Ca je m'en suis bien rendu compte lol. J'ai bien peur de ne pas maitriser cette decomposition a vrai dire

Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 17-04-05 à 18:49

je ne vois pas plus comment obtenir ton resultat en fait...

Posté par
Nightmarere : changement de variable 17-04-05 à 18:55

Il te faut réduire au même dénominateur et utiliser la technique d'identifiaction pour retrouver A , B , C , D , E et F


jord

Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 17-04-05 à 19:01

je vais le faire alors, mais effectivement je ne sais pas si c'est au programme de sup mais j'avais jamais fait cela

Posté par
Nightmarere : changement de variable 17-04-05 à 19:02

si , c'est bien au programme de sup , mais peut etre que tu ne l'as pas encore vu ..


jord

Posté par jacko78 (invité)re : changement de variable 17-04-05 à 19:10

Bon bah dans le pire des cas je ferai ce que tu m'as dit, sinon je chercherais une autre méthode car si je ne l'ai pas encore vu, ce n'est certainement pas ce que mon prof attendra, en tout cas merci pour tout ton travail...

Posté par
Nightmarere : changement de variable 17-04-05 à 19:15


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