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Niveau maths spé
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Changement de variable bijectif ?

Posté par
EvaristeG
27-10-10 à 12:52

Bonjour, quand est-ce qu'une intégration par changement de variables nécessite-t-elle une bijection ? Mon prof actuel et celui de l'année dernière se contredisent à ce sujet... Merci d'avance.

Posté par
GaBuZoMeu
re : Changement de variable bijectif ? 27-10-10 à 16:51

Il faudrait que tu donnes les énoncés précis. Comme ça, en l'air, c'est difficile de répondre à ta question.
Ce qui est sûr, c'est que dans la formule
\int_a^b f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du
il n'y a aucun besoin que \varphi soit bijective.

Posté par
frenicle
re : Changement de variable bijectif ? 30-10-10 à 07:00

Bonjour,

A mon avis, la question est plus délicate qu'il n'y paraît, et les programmes n'ont pas été rédigés comme ça par hasard.
En Maths sup, on n'intègre que des fonctions continues.
Il est précisé que les notions de fonctions réglées et de fonctions intégrables au sens de Riemann sont hors programme.
La formule

\int_a^b f(\varphi(t))\, \varphi '(t)\, dt = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\, du

est valable sans problème avec f continue et de classe C1, non nécessairement bijective.
C'est cet énoncé qui figure d'ailleurs dans le programme de sup.

En spé, on étend la notion d'intégrale aux fonctions continues par morceaux.
Mais on ne parle toujours pas de fonctions réglées.
Et là, l'énoncé figurant dans le programme précise qu'on doit supposer aussi que est bijective en plus d'être C1.
En fait c'est la monotonie de qui est importante.

Supposons qu'on veuille intégrer entre -1 et 1 la fonction f, continue par morceaux, telle que f(0) = 0,  f(x) = -1 si x est négatif et f(x) = 1 si x est positif.

Comme f est très compliquée à intégrer, on pense tout de suite à un changement de variable.

Le premier qui vient à l'esprit est (x) = x2f(x)sin(1/x)/sin(1) pour x non nul et (0) = 0.

est une sympathique fonction de classe C1 avec (-1) = -1 et (1) = 1.

On écrit donc :

\int_{-1}^1 f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt = \int_{-1}^1 f(u)\,du

Le problème, c'est que change constamment de signe au voisinage de 0, et que f((t)) prend une infinité de fois les valeurs +1, 0 et -1 au voisinage de zéro.
Elle n'est pas continue par morceaux, et (f°)' non plus.
Ces fonctions sont réglées, mais comme les fonctions réglées sont hors programme, le membre de gauche de l'égalité ci-dessus n'est pas défini en Spé.

Si est strictement monotone, f° reste continue par morceaux, et ce genre de problème ne se pose plus.








Posté par
GaBuZoMeu
re : Changement de variable bijectif ? 30-10-10 à 10:14

Merci de cette mise au point sur les subtilités des programmes de classes préparatoires. Effectivement, une fonction continue par morceaux a une sale tronche après composition par une fonction qui oscille beaucoup autour d'un saut.
Tant qu'à avoir des choses par morceaux, on aurait pu considérer des changements de variable C1 strictement monotones ou constants par morceaux ...

Posté par
frenicle
re : Changement de variable bijectif ? 30-10-10 à 10:41

Posté par
apzoeiruty
re : Changement de variable bijectif ? 11-10-15 à 21:32

Bonjour,

Pourquoi la fonction f est compliquée à intégrer ?

Elle m'a l'air très simple au contraire puisque f(x)=\begin{cases}1&x\in]0,1]\\0&x=0\\-1&x\in[-1,0[\end{cases}

De plus, pourquoi \varphi est un changement simple et évident ? Il m'a au contraire l'air horrible.

Merci,

Posté par
frenicle
re : Changement de variable bijectif ? 11-10-15 à 21:52

Bonjour,

Oui,c'était ironique, bien sûr...

Posté par
luzak
re : Changement de variable bijectif ? 12-10-15 à 18:03

Bonsoir !
@frenicle : ton exemple prouve surtout qu'on doit imposer f_{\circ}\varphi\;\;\varphi' continue par morceaux, la bijection reste inutile.

En revanche, dans les intégrales généralisées, le changement de variables impose une possibilité de passage à la limite par composition et si on ne compose pas par une fonction strictement monotone la composition de limites peut ne pas marcher !



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