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Changement de variable dans une EDP

Posté par
infophile
15-03-09 à 17:10

Bonjour ;

J'ai un peu de mal à comprendre le fonctionnement d'un changement de variable dans une EDP.

Par exemple pour résoudre 4$ \blue \fbox{x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0} on me suggère le changement de variable 3$ \red (x,y)\to (x,xy).

Je note 4$ \fbox{\varphi: \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2\\(x,y)\to (x,xy)=(u,v)} qui bien un 3$ \mathcal{C}^1-difféomorphisme de 3$ \mathbb{R}^2 dans lui-même.

Et je cherche donc à me ramener à une EDP portant sur 3$ g définie par 3$ \fbox{f=g\circ \varphi}

Je commence par calculer la dérivée partielle première en utilisant la règle de la chaîne :

4$ \fbox{\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial u}+\frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial g}{\partial v}=\frac{\partial g}{\partial u}+y\frac{\partial g}{\partial v}}

Mais je bloque sur la dérivée partielle seconde 4$ \fbox{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\(\frac{\partial f}{\partial x}\)=\frac{\partial}{\partial x}\(\frac{\partial g}{\partial u}+y\frac{\partial g}{\partial v}\)=?}

Merci

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 17:27

Salut Kevin!

Tu continues ainsi!

Par exemple, d/dx (dg/du) = (d/du (dg/du)).(du/dx) + (d/dv (dg/du)).(dv/dx) .

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 17:29

Tu n'as qu'à penser à la formule des probabilités totales, c'est complètement analogue!

P(A) = P(A sachant B1)P(B1) + P(A sachant B2)P(B2) où {B1;B2} est une partition de l'univers!

Posté par
infophile
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 17:36

Salut Greg, ça va ?

Ok alors : 4$ \fbox{\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\(\frac{\partial^2g}{\partial u^2}+y\frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v}\)+\(y\frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v}+y^2\frac{\partial^2 g}{\partial v^2}\)}

C'est juste ?

Merci !

Posté par
amauryxiv2
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 17:38

Pardon pour l'interférence. Mais quelqu'un peut il m'expliquer comment on écrit d'aussi jolies fractions avec les outils du site ??????

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 17:43

Oui c'est juste!

Ca va et toi?

En route pour les concours?

amauryxiv -> Utilise l'instruction \partial pour les dérivées partielles, et \fr {}{} pour les fractions entre les balises [tex] [ /tex] du LaTeX .

Posté par
infophile
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 18:04

J'ai continué :

4$ \fbox{\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=x^2\frac{\partial g^2}{\partial v^2}} et 4$ \fbox{\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=x\(\frac{\partial^2g}{\partial u\partial v}+y\frac{\partial^2 g}{\partial v^2}\)}

Le problème c'est qu'en reportant toute dans l'EDP ça ne se simplifie pas tellement..

Citation :
En route pour les concours?


Oui et pour la 5/2 accessoirement

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 18:26

Pourquoi dis-tu ça?Tu ne les as pas encore passés!

Qu'obtiens-tu en reportant?

Posté par
infophile
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 18:59

J'obtiens :

4$ \fbox{x^2\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}+4x^2y\frac{\partial^2 g}{\partial u\partial v}+4x^2y^2\frac{\partial^2 g}{\partial v^2}=0}

Je dis ça parce que je n'ai clairement pas le niveau pour espérer une ENS cette année.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 19:11

Mouais...Tu verras bien!
Et même si tu ne réussis pas cette année, est-ce dramatique, du moment que tu sais ce que tu veux?

Je trouve malheureusement comme toi, et même après avoir remplacé les x et les y par des u et des v, on se retrouve avec une équa diff de complexité égale à celle de l'équation initiale.

Soit on a fait une erreur, soit l'énoncé est faux!

Posté par
infophile
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 19:17

La réponse est donnée : 3$ \blue \fbox{\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}=0}

Donc on a du faire une erreur

Non c'est pas dramatique, je ne pourrai que progresser de toute manière, et je pense vouloir faire prof même si j'hésite encore ^^ (t'as suivi quel cursus toi?).

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 19:30

J'ai revérifié, il n'y a pas d'erreur!

C'est peut-être le changement de variable proposé qui n'est pas le bon!


Personnellement, je me suis arrêté en cours de Sup (à cause de la Physique, et aussi d'événements personnels), et j'ai fait la fac, puis CAPES et Agreg.

Posté par
CC_
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 19:31

Hi everybody,
Question bête (comme d'hab) pour infophile : tu es sûr de ton énoncé ? Y aurait pas un "-" au lieu d'un "+" dans l'équation, des fois ?..
Parce que là, je trouve que le changement de variable n'est point adéquat (sauf erreur from my part), mais qu'il irait rès bien à l'équation suivante :
4$ \blue \fbox{x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0}

Posté par
infophile
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 19:42

Oui je suis sûr de l'énoncé, c'est donc une erreur du bouquin (MethodX).

J'espère avoir un jour un niveau comme le tien Greg

Bonne soirée et merci !

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 19:56

Kevin -> Tu y arriveras sans mal, je t'assure!

CC_ -> Oui, en effet, tu as raison! Par conséquent, le changement de variable indiqué est à modifier!
Mais comment?


Petite question indiscrète CC_ -> Ne serais-tu pas prof dans le bas-rhin? Il se pourrait qu'on se soit déjà rencontrés!

Posté par
jandri Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 21:11

Bonsoir infophile,

C'est bien la bonne équation et le bon changement de variable mais lu à l'envers!
Il faut poser x=u et y=uv (en se plaçant sur l'ouvert x>0).
On obtient bien 3$ {\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}=0}.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 21:12

Bien, une nouvelle piste, les amis!

Comme l'a très justement fait remarquer CC_, on est à présent à même de résoudre 5$\displaystyle \blue \fbox{x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0}\;\;\;(1)

Or, il est immédiat que f est solution de (1) si et seulement si (x,y) -> f(-x,y) est solution de l'équation initiale.

Il ne reste plus qu'à conclure!

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 21:13

Re, jandri!

Messages croisés!

Je regarde cela.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 21:18

OK, ça marche, en effet!

jandri,

connais-tu une méthode pour trouver un changement de variable approprié à une telle équation?

J'avoue ne pas en connaître!

Posté par
jandri Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 21:45

Tigweg,

Je ne connais pas de méthode générale, j'ai simplement une liste d'exercices dont celui-ci fait partie!
La deuxième équation (avec -xy à la place de xy) ne se résout pas par u=x et v=xy car cela conduit à 3$ {u^2\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}-2v\frac{\partial g}{\partial v}=0}.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 15-03-09 à 23:24

Citation :

Je ne connais pas de méthode générale, j'ai simplement une liste d'exercices dont celui-ci fait partie!


-> D'accord! Je me demande s'il n'y avait pas une application de la théorie des distributions à la résolution d'un certain type d'équations aux dérivées partielles, quand même...il faudra que je me replonge dans mes vieux cours!


Citation :
La deuxième équation (avec -xy à la place de xy) ne se résout pas par u=x et v=xy


-> Je ne suis pas d'accord, je tombe sur 5$\displaystyle\blue\fbox{u^2\fr{\partial^2g}{\partial u^2}=0} , tu es sûr que tu n'as pas ça?

Posté par
CC_
re : Changement de variable dans une EDP 16-03-09 à 09:15

Tigweg : tu veux parler des méthodes variationnelles, genre Lax-Milgram, espaces H^m et compagnie ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 16-03-09 à 12:02

CC_ : Toutafé! Mais j'ai tout oublié...

Je ne sais pas si tu as vu mon petit aparté, au fait? Je repose ma question "indiscrète": ne serais-tu pas prof dans le bas-rhin? Il se pourrait qu'on se soit déjà rencontrés!Tu peux répondre par email si tu préfères, mon adresse est sur le site

Posté par
jandri Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 16-03-09 à 18:18

Bonjour Tigweg,

Tu as du faire une erreur de calcul, le changement de variables u=x et v=xy dans la deuxième équation donne bien 3$ {u^2\frac{\partial^2 g}{\partial u^2}-2v\frac{\partial g}{\partial v}=0}.

D'autre part, si f(x,y) est une solution de l'équation initiale, la fonction (x,y)=->f(-x,y) vérifie la même équation et non celle que tu as proposée avec un signe -.

Enfin je ne connais pas la théorie des distributions donc je ne peux rien dire de plus.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 16-03-09 à 22:53

Bonjour jandri,

tu as raison, je suis allé un peu vite en besogne pour l'application (x,y) -> f(-x,y), elle vérifie en effet la même équation que f.

En revanche, c'est vraiment toi qui as dû faire une erreur de calcul pour le changement de variable u=x et v=xy, on tombe bel et bien sur ce que j'écrivais hier soir à 23h24!

Posté par
CC_
re : Changement de variable dans une EDP 16-03-09 à 23:05

(Aparté : que nenni Tigweg, je ne suis ni prof ni dans le Bas-Rhin Je suis simple étudiant - mauvais, en pluch' ! -, et à Poitiers ! )

Mais finalement, la méthode donnée par Jandri fonctionne-t-elle ou y a-t-il encore un souci ?

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 16-03-09 à 23:10

OK, CC_, désolé!Plusieurs indices m'avaient frappé, mais il ne s'agissait donc que de coïncidences!

LAméthode de Jandri fonctionne très bien.

Juste pour confirmer, CC_, tu aboutis à la même équa diff que moi lorsqu'on a -2xy pour terme central au lieu de 2xy?

Posté par
CC_
re : Changement de variable dans une EDP 16-03-09 à 23:19

Mais y a pas d'mal !

Oui, j'aboutis aussi à ton équation, je vote donc Tigweg contre Jandri

Cela étant dit, ce n'est pas une garantie absolue, puisque les EDP sont loin d'être mon domaine de prédilection...

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 16-03-09 à 23:40

Ok, merci de ta confirmation!

Pour ma part, je vote CC_ contre Jandri !

Lol, j'espère que Jandri ne continuera pas à voter pour lui-même, sinon on reste en ballotage!

Posté par
jandri Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 17-03-09 à 12:02

Bonjour Tigweg et CC_,

Je ne pense pas avoir fait d'erreur.
Si g(u,v)=g(x,xy)=f(x,y) on obtient:
4$ \fbox{\frac{\partial f}{\partial y}=x\frac{\partial g}{\partial v}} puis 4$ \fbox{\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial g}{\partial v}+x\frac{\partial g^2}{\partial u\partial v}+xy\frac{\partial g^2}{\partial v^2}}.
Ensuite le terme avec 4${\frac{\partial g}{\partial v}} ne disparait pas car il ne figure pas dans les autres dérivées secondes.

Posté par
Tigweg Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 17-03-09 à 22:15

Bonsoir Jandri,

tu as mille fois raison! Comment n'ai-je pas vu ça?

Pardonne-moi d'avoir suggéré que c'était toi qui avais fait une erreur de calcul!

Posté par
jandri Correcteur
re : Changement de variable dans une EDP 17-03-09 à 22:43

Pas de problème, je fais aussi des erreurs de calcul et même parfois devant mes élèves!



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