Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Changement de variable dans une intégrale de surface

Posté par
RiXaTorAgu 22-11-23 à 23:16

Soit $\partial B_0(1) = \{x \in \mathbb{R}^n : |x| = 1\}$ . J'ai une bijection $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ qui est de classe $C^\infty$ et une fonction $g : f(\partial B_0(1)) \to \mathbb{R}$ . Je veux calculer l'intégrale

$\int_{f(\partial B_0(1))} g(y) \, ds(y)$

en utilisant le changement de variable $y = f(x)$ pour obtenir quelque chose du style

$\int_{f(\partial B_0(1))} g(y) \, ds(y) = \int_{\partial B_0(1)} g(f(x)) |Df| \, ds(x)$

Est-ce possible ? Où devrais-je chercher des références?

Posté par re : Changement de variable dans une intégrale de surface 23-11-23 à 10:26

Bonjour,
C'est plus compliqué que cela. Il faut voir comment se modifie l'élément de surface sur la sphère de dimension $n-1$ sous $f$ . Il ne se modifie pas a priori par multiplication par $|Df|$ : ça c'est la façon dont se modifie l'élément de volume dans $\mathbb R^n$ .

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