Niveau Maths sup

changement de variable et loi normale

Posté par
romu 14-01-08 à 00:28

Bonjour, j'ai un souci avec cet exercice:

Citation :
Pour tout $m\in \mathbb{R}$ et $\sigma>0$ , on dit qu'une v.a. $Y$ suit la loi normale de paramètres $m$ et $\sigma^2$ , notée $\mathcal{N}(m,\sigma^2)$ lorsqu'elle possède la densité $f_Y$ suivante:

$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp $ -\frac{(y-m)^2}{2\sigma^2} $,\ \ y\in \mathbb{R}.$

Soit $a\in \mathbb{R}*$ et $b\in \mathbb{R}$ . Déterminer la densité de $aY+b$ . En particulier, si $X=(Y-m)/\sigma$ , quelle est la densité de $X$ ?

Dans la correction, le prof commence à sortir un résultat qui ressemble beaucoup au théorème du changement de variable (mais sans les intégrales):

$Y : (\Omega,\mathcal{A},P) \rightarrow (\mathbb{R}^d,\mathcal{B}( \mathbb{R}^d ) )$ tel que $P_Y=f_Y\lambda_d$ .

Soient $U\in \mathcal{O}(\mathbb{R}^d)$ tel que $P(Y\in U)=1$ , $\psi : U \rightarrow \psi(U)$ un $C^1$ -difféomorphisme.

Alors $P_{\psi(Y)} = f_{\psi(Y)}.\lambda_d$

avec $f_{\psi(Y)}(z) = (f_Y\circ \psi^{-1})(z) |J_{\psi^{-1}}|(z) \mathbb{1}_{\psi(U)}(z)$

( $J_{\psi^{-1}} = \det(Jacobien(\psi^{-1})$ ).

Mais je ne vois pas vraiment d'où vient ce "lemme". j'avais pensé au changement de variable, qui dit plutôt que:

$3$\Bigint_{\mathbb{R}^d} f_{\psi(Y)} d\lambda_d = \Bigint_{\mathbb{R}^d} (f_Y\circ \psi^{-1})(z) |J_{\psi^{-1}}|(z) \mathbb{1}_{\psi(U)}(z) d\lambda_d(z) = \Bigint_U f_Y d\lambda_d$

Merci pour votre aide.

Posté par re : changement de variable et loi normale 14-01-08 à 10:31

Bon en fait c'est bon j'ai compris, par contre je ne vois pas pourquoi

$3$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Bigint_{\mathbb{R}} e^{itx-\frac{x^2}{2}} dx = \exp(-\frac{t^2}{2})$

Posté par re : changement de variable et loi normale 14-01-08 à 10:51

Quel rapport entre ton premier post et le second ?

La formule de ton second post c'est la fonction caractéristique (ou transformée de Fourier) de la loi normale centrée réduite. Je pense que tu peux trouver avec Google.

Posté par re : changement de variable et loi normale 14-01-08 à 10:57

salut stochastik,

le rapport c'est que le même exo sur la loi normale (bon pour le deuxième post c'est vrai qu'il n'est plus question de loi normale).

Et justement la question c'était de déterminer la fonction caractéristique d'une v.a. $X$ qui suit une loi $\mathcal{N}(0,1)$ .

Le prof met cette égalité (cf mon deuxième post) que je ne comprends pas, enfin je ne vois pas comment il arrive à cette égalité aussi facilement.

Posté par re : changement de variable et loi normale 14-01-08 à 11:05

Il y arrive facilement parce qu'il la connait par coeur peut-être... je sais pas moi dans quel contexte il a donné cette formule ..

Posté par re : changement de variable et loi normale 14-01-08 à 11:17

Il n'y a pas un moyen d'écrire le complexe $4$e^{itx-\frac{x^2}{2}}$ sous forme trigonométrique?

Posté par re : changement de variable et loi normale 14-01-08 à 12:07

J'en sais rien, as-tu cherché avec Google ?

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