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Changement de variables dans une EDP

Posté par
Nath789 13-05-19 à 17:38

Bonjour,
Je suis en train de lire un papier où l'on considère les équations aux dérivées partielles (EDP) suivantes:

a_t = a_{xx} -ab , Eq. (1)

b_t = b_{xx} -ab , Eq. (2)

où les indices x et t dénotent les dérivées partielles par rapport à l'espace et le temps.

L' auteur réalise alors un changement de variable pour passer des variables x et t  à \eta et t où

\eta = \frac{x}{2\sqrt{t}}


Il obtient alors

a_t -\frac{\eta a_{\eta}}{2t} = \frac{a_{\eta\eta}}{4t} -ab , Eq. (3) et

b_t -\frac{\eta b_{\eta}}{2t} = \frac{b_{\eta\eta}}{4t} -ab . Eq. (4).

J'ai certaines difficultés à obtenir Eq. (3) à partir de Eq. (1) (ou de façon équivalente, Eq. (4) à partir de Eq. (2)).

Ce que j'ai fait, en particulier, c'est transformer la dérivée première par rapport à x, d'abord, de la façon suivante:
\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial \eta}{\partial x} \frac{\partial}{\partial \eta} +  \frac{\partial t}{\partial x} \frac{\partial}{\partial t}  

⇔ \frac{\partial}{\partial x} = \frac{1}{2 \sqrt{t}} \frac{\partial}{\partial \eta} +  \frac{\sqrt{t}}{\eta} \frac{\partial}{\partial t}  

En faisant de même pour la dérivée seconde par rapport à x, j'obtient des dérivées secondes par rapport au temps qui n'apparaissent pas dans Eq. (3) ... J'ai dû me tromper quelque part.
Est-ce que quelqu'un a une idée de comment obtenir Eq. (3) à partir de Eq. (1) ?  

Posté par
larrechre : Changement de variables dans une EDP 13-05-19 à 19:11

Bonjour,

Il ne s'agit pas à proprement parler d'un "changement de variables", mais de la recherche de solutions de la

forme a(\eta) où \eta=\dfrac{x}{2\sqrt{t}}

Pour la (3), n'est-ce pas plutôt a_t= -\dfrac{\eta a_{\eta}}{2t}=\dots ?

Posté par
Nath789re : Changement de variables dans une EDP 13-05-19 à 23:13

Bonjour,

Merci pour ta réponse. Je ne suis pas un expert, mais je pense que c'est bien un changement de variables. Dans le cas où cela intéresse quelqu'un, j'ai trouvé la réponse dans ce document ci:
http://www.lmm.jussieu.fr/~lagree/COURS/M2MHP/SSS.pdf
Paragraphe 3.8 où la démonstration est donnée.

Posté par
larrechre : Changement de variables dans une EDP 13-05-19 à 23:38

OK, ce n'est effectivement pas ce à quoi j'avais pensé.


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