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Niveau école ingénieur
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Changement variable dérivé / intégrale

Posté par
stefbuet
18-10-13 à 13:17

Bonjour,

Dans un exercice (cf. image jointe) on me demande d'effectuer un changement de variable, cependant je ne comprends pas la démarche à suivre.

On pose la fonction:

e(x)=\frac{16}{3\sqrt{3}}e\sqrt{\frac{x}{c}}(1-\frac{x}{c})^{\frac{3}{2}}

Et l'intégrale u(x)=\int_0^{c}\frac{e'(\xi)}{x-\xi}d\xi

Concrètement, e(x) est l'épaisseur d'une aile d'avion distribuée entre x=0 et c.
Dans l'intégrale, c'est \xi qui est variable et représente la position actuelle sur l'aile tandis que x est une position fixe entre 0 et c. On remarque que quand\xi=x l'intégrale n'est pas définit. En fait on intègre sur [0;x[ \cup ]0;x]. Normalement le signe pour ce type d'intégrale possède un P au milieu mais je n'ai pas trouvé dans Latex.

Donc pour moi, le changement de variable demandé \xi(\theta)=\frac{c}{2}(1-cos(\theta)) intervient au niveau de e(x) qui deviendrait e(\theta) :

e(\theta)=\frac{4.e}{3\sqrt{3}}\sqrt{1-cos(\theta)}.(1+cos(\theta))^{\frac{3}{2}}

Ok très bien et pour la dérivation niveau changement de variable on a :

\frac{d}{d\theta}=\frac{d\xi(\theta)}{d\theta}.\frac{d}{d\xi}=\frac{c}{2}sin(\theta)\frac{d}{d\xi}

Soit \frac{d}{d\xi}=\frac{2}{c.sin(\theta)}.\frac{d}{d\theta}

Mais avant d'insérer ma dérivé de e(\theta) il faut aussi s'occuper de ce changement de variable dans l'intégrale! Si l'on dit que 0=\xi(0) et c=\xi(\pi) pour les bornes de l'intégrale, alors on peut intégrer de \theta=0 à \pi en changeant d\xi par \frac{d\xi}{d\theta}.d\theta=\frac{c}{2}sin(\theta}\frac{d}{d\xi} ce qui en fait annule le facteur calculé plus haut pour la dérivée...

Donc concrètement, pour le changement de variable je passe d'une intégration de 0 à c à une intégration de 0 à \pi et je change les d\xi par d\theta, et je remplace dans le dénominateur de l'intégrale \xi par ça valeur en fonction de \theta

Voila d'abord la dérivé de e(\theta) après simplification :

\frac{de(\theta)}{d\theta}=\frac{4.e}{3}\frac{(2.cos(\theta)-1)\sqrt{1+cos(\theta)}}{\sqrt{3-3cos(\theta)}}.sin(\theta)

Ensuite je rajoute cela dans mon intégrale, pour obtenir au final :


\int_0^{\pi}\frac{4.e}{3}\frac{(2.cos(\theta)-1)\sqrt{1+cos(\theta)}.sin(\theta)}{\sqrt{3-3cos(\theta)}.(x-\frac{1}{2}(1-cos(\theta))}

Et c'est donc à ce moment que je me dit que j'ai du complètement me tromper dans l'étape des changement de variables, je suis un peu confus sur comment faire ce changement de variable avec cette dérivé incluse dans l'intégrale.

Je suis presque sûr de me tromper car par la suite je doit calculer l'intégrale, en utilisant la relation suivante:

\int_0^{\pi}\frac{cos(n.\theta)}{cos(\theta)-cos(\theta_0)}d\theta=\pi\frac{sin(n.\theta_0)}{sin(\theta_0)}

Et cet espèce de truc barbare au dessus n'y ressemble absolument pas!
Quelques pistes, idées, corrections pour m'aider svp ?

Merci beaucoup!

Changement variable dérivé  /  intégrale

Posté par
snutile
re : Changement variable dérivé / intégrale 18-10-13 à 16:04

Bonjour,
Trouver la dérivée e'(x) = ....à partir de e(x)
Calculer e'(x=()=.... j'ai une expression en
Calculons la dérivée den fonction de
les bornes de la dérivée sera de x=0 à x=C où x=c(1-cos)avec variant de 0 à soit de x=c(1-cos0) à x=c(1-cos)= 2c
A bientôt

Posté par
stefbuet
re : Changement variable dérivé / intégrale 18-10-13 à 21:19

Bonjour, merci pour votre réponse.

1/ Je dérive e(x) par rapport à x:

e'(x)=\frac{8.e}{3\sqrt{3}}}.\frac{(c-4x)\sqrt{1-\frac{x}{c}}}{c^2\sqrt{\frac{x}{c}}}

2/ e'() pour une expression en :

e'(x=\xi(\theta))=\frac{8.e}{3\sqrt{3}}\frac{\sqrt{cos(\theta)+1}(2cos(\theta)-1)}{c\sqrt{1-cos(\theta)}}

3/ Calcul de d\xi en fonction de :

\frac{d\xi(\theta)}{d\theta}=\frac{c}{2}sin(\theta)

4/ Je remet tout dans l'intégrale :

u(x,0)=\int_0^{\pi} \frac{\sqrt{cos(\theta)+1}(2cos(\theta)-1)\frac{1}{2}sin(\theta)}{\sqrt{1-cos(\theta)}(x-\frac{x}{2}(1-cos(\theta))}d\theta

Mais je n'arrive toujours pas à me rapproche de la forme à obtenir, à savoir :

\int_0^{\pi}\frac{cos(n.\theta)}{cos(\theta)-cos(\theta_0)}d\theta=\pi\frac{sin(n.\theta_0)}{sin(\theta_0)}

Par contre Matlab me dit que cette intégrale =-\frac{pi}{x} donc même si elle a tjrs une tête étrange par rapport à ce dont je doit m'approcher, cela semble ok. Reste à savoir comment arriver à cette forme simplifiée.

Posté par
stefbuet
re : Changement variable dérivé / intégrale 18-10-13 à 21:40

Oh et je me suis trompé dans ma formule matlab le résultat n'est donc pas \frac{-\pi}{x} malheureusement.

En posant x=\frac{c}{2}(1-cos(t)) J'obtient une petite simplification...

\frac{8.c.e}{12\sqrt{3}}\int_0^{\pi}\frac{\sqrt{1+cos(\theta)}(2cos(\theta)-1).sin(\theta)}{\sqrt{1-cos(\theta)}(cos(\theta)-cos(t))}

Soit

\frac{8.c.e}{12\sqrt{3}}\int_0^{\pi}\frac{\sqrt{sin^2(\theta)}(2cos(\theta)-1).sin(\theta)}{(1-cos(\theta))(cos(\theta)-cos(t))}

Posté par
snutile
re : Changement variable dérivé / intégrale 18-10-13 à 22:48

Bonjour,
Les bornes de l'intégrale est de 0 à 2C avec ou 0+2 à 2C+2
A bientôt

Posté par
stefbuet
re : Changement variable dérivé / intégrale 19-10-13 à 02:57

Bonjour,

Pourquoi de 0 à 2c et pas de 0 à \pi ?

\int_{\xi(\theta=0)=0}^{\xi(\theta=\pi)=c}f(x)dx=\int_{\theta=0}^{\theta=\pi}f(\xi(\theta)).\xi'(\theta).d\theta

\frac{d\xi}{d\theta}=\frac{c}{2}sin(\theta)

J'ai essayé plusieurs fois de refaire mes calculs, pas moyen de retomber sur la forme d'intégrale plutôt simple avec les 3 cosinus :/

Posté par
snutile
re : Changement variable dérivé / intégrale 19-10-13 à 10:54

Bonjour,
J'ai encore omis en mot :
les bornes de L'INTEGRALE et non de la dérivée sera de x=0 à x=C où par changement de variable x=c(1-cos)avec variant de 0 à soit de nouvelle borne x=c(1-cos0) à x=c(1-cos)= 2c
A bientôt

Posté par
stefbuet
re : Changement variable dérivé / intégrale 20-10-13 à 14:18

Oui mais le changement de variable n'étant pas  x=c(1-cos()) mais x=1/2 c(1-cos()) les bornes sont bien 0 à c.

Posté par
stefbuet
re : Changement variable dérivé / intégrale 20-10-13 à 18:38

Avec mathematica, j'obtient un résultat pour mon intégrale. Après remplacement de mon cos(t) par 1-2x/c :
\frac{8.e.\pi.(3c-4x)}{3\sqrt{3}.c^2}

J'ai utilisé mathematica pour vérifier si les bornes de l'intégrale étaient bien 0;PI : en re-lançant tous les calculs depuis le début sans faire aucun changement de variable et j'arrive au même résultat.

Cependant, je me pose une grande question, comment passer de :

\frac{8.c.e}{12\sqrt{3}}\int_0^{\pi}\frac{\sqrt{sin^2(\theta)}(2cos(\theta)-1).sin(\theta)}{(1-cos(\theta))(cos(\theta)-cos(t))}

à:

\frac{8.e.\pi.(3c-4x)}{3\sqrt{3}.c^2}



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