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cherche une suite

Posté par
stokastik 17-04-08 à 15:01

Chers amis,

Soit 3$(\alpha_n) une suite de nombres dans 3$[0,1[ qui tend vers 3$0 en décroissant.

On se donne un nombre 3$u_0 et on définit par récurrence la suite 3$(u_n) par la relation 3$u_{n+1}=\frac{1-u_n}{1-\alpha_n}.

Je cherche un exemple de telles suites 3$(u_n) et 3$(\alpha_n) telles que 3$0<u_n<1 pour tout 3$n et la suite 3$(u_n) ne converge pas vers 0 ou 1 (elle converge dans ]0,1[ ou ne converge pas).

Auriez-vous une idée ?

Posté par
Camélia Correcteurre : cherche une suite 17-04-08 à 15:16

Bonjour stokastik (c'est une occasion de te causer!)

La seule chose qui saute aux yeux, c'est que si (un) converge, c'est vers 1/2 donc ni vers 0 ni vers 1.

D'autre part, (recherche en direct sur l'écran),
un+1(1-an)=un

an=(un+1-un)/un

donc n'importe quelle suite décroissante qui tend vers 1/2 fabrique une suite an qui tend vers 0 par valeurs positives. Il faut ajuster pour être surs qu'elle décroit...

Posté par
stokastikre : cherche une suite 17-04-08 à 16:06

Hello Camelia

Je crois que tu as fait une erreur dans les formules mais tu m'as donné la simple idée de sortir le alpha_n et ok je m'en sors c'était facile en fait

Posté par
stokastikre : cherche une suite 17-04-08 à 16:12

eeuuhhh attends ai-je parlé trop vite ? On a 1-\alpha_n=\frac{1-u_n}{u_{n+1}}, il faudrait aussi que 1-u_n < u_{n+1}...

Posté par
stokastikre : cherche une suite 17-04-08 à 16:14

Ok avec une suite u_n qui tend vers 1/2 par valeurs supérieures

Posté par
stokastikre : cherche une suite 17-04-08 à 19:54

Ca se complique: j'ajoute maintenant la condition:

4$\prod_{k=1}^{\infty}\alpha_k > 0.

Une idée ?..

Posté par
stokastikre : cherche une suite 17-04-08 à 19:55

oups désolé...

correction: la condition que j'ajoute est

4$\prod_{k=1}^{\infty}(1-\alpha_k) > 0

Posté par
stokastikre : cherche une suite 17-04-08 à 20:20

En calculant numériquement avec l'informatique, je crois que u_n=\frac{1}{2}(1+\exp(-n)) convient (converge vite vers 1/2 donc alpha converge vite vers 1).

Posté par
Camélia Correcteurre : cherche une suite 18-04-08 à 14:35

Alors là je ne sais plus... il faut développer un peu pour savoir si la série ln(an) converge (mais ça parait vraisemblable).


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