Niveau Maths sup

chiffre des unités et nombre d'or

Posté par
yaw83 16-09-13 à 06:46

bonjour,

on m'a posé un problème:

trouver le chiffre des unités de $(\phi^{2013})^{2013}$

où $\phi$ est le nombre d'or

Posté par re : chiffre des unités et nombre d'or 16-09-13 à 06:49

comme indice: considérer la suite $u_n= \phi^n+(1-\phi)^n$ faire tendre n et regarder le chiffre des unités.

Posté par re : chiffre des unités et nombre d'or 16-09-13 à 09:29

Tout ça est lié aux nombres de Fibonacci : la suite $u_n$ satisfait la même relation de récurrence. Modulo 10, elle est périodique.
Reste à comparer le chiffre de unités de $u_n$ avec celui de $\phi^n$ pour $n$ grand. Pour ça, il faut regarder de près $1-\phi$ .

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