Bonjour et bienvenue,

as-tu essayé de vérifier les axiomes d'une relation d'équivalence?

Ben, dans l'énoncé on me demande de montrer que R est une relation d'équivalence (symétrie, réflexibilité, transitivité) et je l'ai fait. c'est la suite en fait qui me pose problème.

Bonjour,

Cauchy ne semble plus connecté.
Quelle est la définition de la classe d'équivalence de 0 ?
Déduis-en ses membres...

Nicolas

Bjr Nicolas_75

La définition de la classe d'équivalence de 0 me pose justemen problème. Je ne voi pa exactement ce que l'on entent par cela. Comment en déduire les menbres ?

La classe d'équivalence de y n'est-elle pas l'ensemble des x tels que x R y ?

Donc, ici, la classe d'équivalence de 0 n'est-elle pas l'ensemble des x tels que f(x)=f(0) ?

Jusque là, je suis d'accord avec toi. Mais disons que mon principal problème reste l'exponentielle. Je ne vois pas quel opération faire pour simplifier.

Je m'explique :
f(x) = f(0)
exp(x)-x = exp(0)-0
exp(x)-x = 1
x = ln (1+x) ou encore
x = -1+ exp(x)

Mais jusque là, je tourne en rond. je n'arrive pas à extraire l'ensemble des x tel que f(x) = f(0).
Et il en ait de même pour f(x) = f(y).

Tu ne peux pas résoudre l'équation exp(x)-x = 1 avec une solution explicite.
Fais une étude de variations pour voir si des solutions existent, et combien.

par une étude des variations, il vient que
g(x) = exp(x)-x-1

g dérivable, et on a
g'(x) = exp(x)-1
g(x) décroit sur ]+; 0] et est croissante sur [0 ; +[.

Donc par conséquent, f(x) = f(0) x=0.
La classe d'équivalence de 0 est {x=0}
(j'espère que c'est ça! )

Mais, alors, est-il possible de faire la même démarche pour f(x) = f(y) ?

Oui.

Bonjour et merci de m'avoir éclairé, mai je dois avouer que la deuxième question me pose toujours problème.

Si on procède par l'équivalence
exp(x)-x=exp(y)-y, faut-il procéder par une étude des variations avec une études par rapport à deux variables ? Car ici aussi, la simplification de l'exponentielle afin de trouver la classe d'équivalence z n'est pas vraiment possible.

En fait, quelle approche faut-il avoir pour la deuxième question svp ?

Merci d'avance !!

La classe d'équivalence de y est l'ensemble des x tels que exp(x)-x.
C'est une équation à une inconnue (x).
On ne peut pas la résoudre explicitement.
Mais on peut compter le nombre de solutions par étude de variations, etc...

Première ligne, lire :
a classe d'équivalence de y est l'ensemble des x tels que exp(x)-x = exp(y)-y

Tout d'abord, j'ai comencé par cela, mai je n'arriva pa à l'exploiter.

f'(x) = exp(x)-1
Sur ]-;0[, f est décroissante et f(0)=1.
Sur ]0;+, f est croissante.


Mais mon problème réside essentiellement sur la foaçon dont je doit exploiter ces infos.

Tu as dû voir au lycée que les solutions de l'équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d'intersection entre Cf et Cg, non ?

Je change la notation pour que cela encore plus visible.

La classe d'équivalence de z est l'ensemble des x tels que exp(x)-x = exp(z)-z

On trace donc :
(1) la courbe y = exp(x)-x (ce que tu sembles avoir fait ci-dessus)
(2) la courbe y = exp(z)-z ; z étant donné, c'est tout simplement une droite horizontale (dont l'ordonnée est 1)

Il y a deux intersections entre ces deux courbes (sauf que z=0, où les 2 intersections sont confondues en une seule).

Ok, je vois !! (enfin):
Vraiment merci pour l'explication .clapclap:

Je t'en prie.

Re bonjour. Me revoici car je suis à nouveau bloqué ds mon devoir.

Tout d'abord, on a l'application j sur par
j(x) =
   x' z tq xx' si x0
   0 si x=0.

Pour l'expression de x', j'ai trouvé :
  pour x<0, x' = f1^-1 (f(x))
  pour x>0, x' = f2^-1 (f(x)).

J'ai réussi à montrer la continuité de j, son involution, etc, cependant, je rencontre un nouveau problème.

On note (J) la représentation graphique de j.
1/ Montrer que j est strictement décroissante sur puis que lim (en -)= + et lim (en += = -.
2/ Déterminer lim ( en +) (f+h).

Dans la mesure où j est définie par des aplications réciproques (f1 et f2), comment puis-je étudier les variations ?
on sais que f1 est strictement décroissante (x<0) et f2 strictement croissante (x>0). Existe-t-il un théorème pour connaitre directement l'allure des apllication  réciproques ou autres?

Merci d'avance pour vos aides.

Bonjour,

Pourrais-tu donner l'énoncé complet et au mot près de toutes les questions depuis notre échange précédent ?

Nicolas

On définit la fonction f par : x , f(x) = exp(x) - x.
Soit alors l'équation fonctionnelle () : (foX=f) .

Soient f1 et f2 les restrictions de f respectivement à + et à -; f1 et f2 déterminent des bijections de leur ensemble de départ vers [1 ; +[.

/Donner le nombre de solutions de l'équation (f(x) = m), pour m.

On définit la relation d'équivalence R sur par (x R y)<=>(f(x) = f(y)).

/ Si x , on note z sa classe d'équivalence. Montrer que si x≠0, alors z a exactement 2 éléments x et x'.
Exprimer cet élément x' en fonction de x, f, f1 ou f2 selon le signe de x.

On a l'application j sur par
j(x) =
   x' z tq x'x si x0
   0 si x=0.

/Montrer que j est continue et que foj = f.
/Déterminer E_c, l'ensemble des solutions continues de ().
/Montrer que j est involutive.

La suite, est ce que j'ai écrit ci-dessus.

Si une fonction est strictement monotone, sa réciproque a les mêmes variations, non ?

bonjour Titchoune
exp(x) a pour dérivée elle-même : exp(x)
la dérivée de exp(x)-x = exp(x)-1
elle est négative quand exp(x) < 1, c'est-à-dire quand x < 0; elle est positive quand exp(x) > 1, c'est-à-dire quand x > 0

quand x tend vers moins l'infini, exp(x) tend vers 0 et exp(x)-x vers plus l'infini
quand x = 0, exp(x)-x = 1
pour que exp(x)-x croisse plus vite que x, il faut que (exp(x)-x)' > x' ou exp(x)-1 > 1
exp(x) > 2 dès que x > ln(2) = 0,693; à ce moment, exp(x)-x est encore supérieure à x et ler restera par la suite
donc quand x tend vers l'infini, exp(x)-x tend vers plus l'infini
exp(x) étant continu, exp(x)-x passe deux fois par toutes les valeurs dans ]1;infini[
pour x différent de zéro, il existe un et un seul y différet de lui tel que exp(x)-x = exp(y)-y

Oui plumemeteore, ce que tu as écris est ce que j'ai trouvé (mais expliqué différemment)

Par contre, Nicolas_75, je suis parti du même principe que toi, à savoir que "Si une fonction est strictement monotone, sa réciproque a les mêmes variations". Cependant, ici, on me demande de montrer que j est sctrictement décroissante, or, comme le montre la représentation ci-dessus, f est strictement décroissante sur ]-; 0, et strictement croissante sur ]0; +[. Par conséquent, j ne serai plus strictement décroissante.

A moins que  la propriété que tu viens d'évoquer change avecc la signe de x ?

Ou plus précisément, ce que l'on m'a aidé à trouver !!!

j'ai compris !!!
Merci à tt le monde.