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Classe d'une fontion
Bonjour,
Soit
f(x)=e(-1/x) si x different de 0
f(x)=0 si x=0
1 - Montrer que f est de classe C(infini) sur R*
2 - Montrer que f est de classe C(infini) sur R+
On donne: derivee n-ieme de f = Pn(x)*x^(-2n)*e(-1/x)
3 - Determiner une relation entre Pn, P(n-1), P(n-2) en utilisant f(x) = f'(x)*x^2
4 - Montrer que
P'n(x) = -n(n-1)P(n-1)(x) et
n(n-1)Pn(x) + (1 - (2n-2)x)P'n(x) + P''n(x)*x^2 = 0 (2)
5 - Determiner les coefficients de Pn en utilisant (2).
J'ai essayé 1 par recurrence sans aboutir. Je suppose que pour le 2 il faut utiliser le fait que f est derivable a droite en 0. J'ai essaye recurrence pour le 3 aussi sans aboutir. Et le 4,5 ???
Merci pour toute aide!
Bonjour :
1/ OK
2/ tu utilises le fait que f(n) = Pn(x)*x^(-2n)*e(-1/x) (se montre par recurrence), et tu utilises la croissance comparée pour conclure à l'existence de la limite en 0.
3/ utilises la formule de leibniz
4/ dérives f(n) = Pn(x)*x^(-2n)*e(-1/x) et trouves la relation demandée
5/je dirais qu'il faut voir des solutions polynômiales développables en séries ...
désolé j'avais pas vu que pour la 1 tu étais pas arriver
1/ x-> 1/x est C infini sur ]0,+
[, donc par x->exp(x) l'est aussi sur R+* donc par composée de fonction C on en déduit que ta fonction est C sur R+*
Merci pour ton aide mais encore deux questions:
3/ Je n'arrive pas à utiliser Leibniz pour conclure (et on n'a pas encore vu la formule...)
Comment determiner le degre de Pn et son terme du plus haut degré?
Merci!
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