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Classe de similitude fermée

Posté par
Maxuox 07-11-18 à 17:22

Bonjour à tous,

je n'arrive pas à prouver que S(M)=\left\{ PMP^{-1} | P \in GL_2(\R) \right\} est fermée dans M_2(\R)
avec M=\begin{pmatrix} \\ 0 & -1\\ \\ 1 &0 \\ \end{pmatrix}

Le but est de montrer que ''S(M) fermée \Rightarrow M diagonalisable'' est valable juste dans M_n(\C), j'ai déjà montré que cette matrice est non diagonalisable.

Merci d'avance.

Posté par
jsvdbre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 17:35

Bonjour Maxuox.
Tu ne peux pas montrer que S(M) est fermé dans M_2(\R) sous peine de tolérer que M soit diagonalisable dans M_2(\R). Ce qui n'est pas le cas.
Donc l'énoncé à priori faux.
Tu as certainement voulu écrire :

Citation :
je n'arrive pas à prouver que S(M)=\left\{ PMP^{-1} | P \in GL_2({\red \C}) \right\} est fermée dans M_2({\red \C})
avec M=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}

Posté par
jsvdbre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 17:40

Et pour le montrer, tu vas commencer par montrer que la classe de similitude de toute matrice diagonale est fermée dans M_n(\K), que \K soit \R ou \C.
Réciproquement, ce ne sera valable que pour M_n(\C) : tu vérifies que pour toute matrice triangulaire T, la matrice diagonale constituée des coefficients diagonaux de T est limite d'une suite de matrices de M_n(C) semblables à T, et est donc dans l'adhérence de la classe de similitude de T.

Posté par
Maxuoxre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 17:49

Merci jsvdb,

jsvdb @ 07-11-2018 à 17:35


Tu ne peux pas montrer que S(M) est fermé dans M_2(\R) sous peine de tolérer que M soit diagonalisable dans M_2(\R). Ce qui n'est pas le cas.
Donc l'énoncé à priori faux.


Dans l'exercice, On se propose de montrer dans M_n(\C) que la classe de similitude S(M) est fermée si et seulement si M est diagonalisable.  (déjà fait)

L'énoncé complet de la dernière question:
Soit  M=\begin{pmatrix} \\ 0 & -1\\ \\ 1 &0 \\ \end{pmatrix} \in M_2(\R)

(a) Justifier que M est non diagonalisable dans M_2(\R) (déjà fait)
(b) Montrer que la classe de similitude S(M) est fermée dans M_2(\R) . Conclure

Posté par
Poncarguesre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 17:49

Heu, non la classe de smilitude réelle de la matrice est bien fermée, puisqu'elle est la trace d'un fermé de M_2(C) sur M_2(R) et que l'injection de second dans le premier est continue.

Posté par
Maxuoxre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 17:56

jsvdb @ 07-11-2018 à 17:40

Et pour le montrer, tu vas commencer par montrer que la classe de similitude de toute matrice diagonale est fermée dans M_n(\K), que \K soit \R ou \C.
Réciproquement, ce ne sera valable que pour M_n(\C) : tu vérifies que pour toute matrice triangulaire T, la matrice diagonale constituée des coefficients diagonaux de T est limite d'une suite de matrices de M_n(C) semblables à T, et est donc dans l'adhérence de la classe de similitude de T.


Oui, j'ai adopté la même méthode pour monter que dans M_n(C) : S(M) fermée \Rightarrow M diagonalisable
Je crois qu'on cherche ici un contre-exemple dans \R

Posté par
jsvdbre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 18:00

Je rectifie ce que j'ai dit car ça peut prêter à confusion :

Citation :
Tu ne peux pas montrer que S(M) est fermé dans M_2(\R) sous peine de tolérer que M soit diagonalisable dans M_2(\R). Ce qui n'est pas le cas.
Donc l'énoncé à priori faux.


Bien sur que si, la classe de similitude en question est fermée.

J'aurai dû dire ceci : Tu ne peux pas montrer que S(M) est fermé dans M_2(\R) pour conclure que M est diagonalisable dans M_2(\R) car ce n'est pas le cas.

Mais j'ai lu de travers cette ligne qui le disait déjà en fait :

Citation :
Le but est de montrer que ''S(M) fermée \Rightarrow M diagonalisable'' est valable juste dans M_n(\C)

Donc toutes mes excuses pour ces confusion et mauvaise lectures.

Posté par
jsvdbre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 18:01

Ah bon, y'a eu des réponses entre temps, pas vu ... tout est OK alors !

Posté par
jsvdbre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 18:07

Donc il te manque ceci :

Citation :
(b) Montrer que la classe de similitude S(M) est fermée dans M_2(\R) . Conclure

On peut dire :
Les matrices réelles semblables à M sont les matrices A=\bigl(\begin{smallmatrix}a &c \\ b &-a \end{smallmatrix}\bigr) avec a^2+bc=-1, et leur ensemble est donc fermé dans M_2(R).

Ou bien retenir la solution de Poncargues, mais qui vient nettement moins naturellement à l'esprit.

Posté par
Maxuoxre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 18:07

Ce n'ai pas un problème jsvdb merci beaucoup, ça arrive souvent.

Je pense maintenant à la proposition de Poncargues

Citation :
Heu, non la classe de smilitude réelle de la matrice est bien fermée, puisqu'elle est la trace d'un fermé de M_2(C) sur M_2(R) et que l'injection de second dans le premier est continue.

Posté par
Maxuoxre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 18:10

jsvdb @ 07-11-2018 à 18:07

Donc il te manque ceci :
Citation :
(b) Montrer que la classe de similitude S(M) est fermée dans M_2(\R) . Conclure

On peut dire :
Les matrices réelles semblables à M sont les matrices A=\bigl(\begin{smallmatrix}a &c \\ b &-a \end{smallmatrix}\bigr) avec a^2+bc=-1, et leur ensemble est donc fermé dans M_2(R).


Ah je vois, merci infiniment.

Posté par
Maxuoxre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 18:47

Pardon jsvdb pour le dérangement, mais lorsque j'ai essayé d'exprimer les matrices
appartenant à S(M), en posant P=\begin{pmatrix}x & y\\ z & t\end{pmatrix} avec xt-zy \neq 0, j'ai trouvé:

A \in S(M) \Rightarrow A=(1/xy-zt) \times  \begin{pmatrix}yt+xz & -(x^2+y^2)\\ t^2+z^2& -yt+xz  \end{pmatrix}

Je veux savoir si vous avez adopté une autre méthode, ou vous avez pu remarquer ce résultat:

Citation :
Les matrices réelles semblables à M sont les matrices A=\bigl(\begin{smallmatrix}a &c \\ b &-a \end{smallmatrix}\bigr) avec a^2+bc=-1

Posté par
etniopalre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 18:56

   A=(1/(xy-zt).  \begin{pmatrix}yt+xz & -(x^2+y^2)\\ t^2+z^2& -yt+xz  \end{pmatrix} est bien de la forme indiquée par jsvdb

Posté par
jsvdbre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 19:06

Tu as une erreur de parenthèse :

A \in S(M) \Rightarrow A=(1/xy-zt) \times  \begin{pmatrix}yt+xz &-(x^2+y^2)\\t^2+z^2& \red -(yt+xz)\end{pmatrix}

Ce sont donc bien les matrices annoncées à ceci près :

Citation :
a^2+bc=-1

a^2+bc= 1 bien sûr puisque \det(M) = 1 et que les matrices sont semblables.

Posté par
etniopalre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 22:42

J'en avais corrigé une ( de parenthèse) mais avais zappé l'autre !

Posté par
jsvdbre : Classe de similitude fermée 07-11-18 à 22:51


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