Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau LicenceMaths 2e/3e a
Partager :

Classes d'un groupe

Posté par
Arthur68329
26-09-23 à 15:41

Bonjour,
Soit G un groupe et H un sous groupe.
J'ai rencontré quelque chose de bizarre, à la question "Quelles sont les classes d'équivalence qui sont des sous groupes" il est dit :

Si une classe est un sous groupe, alors elle contient l'élément neutre. C'est donc la classe de e, C'est à dire H.

J'aurais plutôt dis : Si une classe est un sous groupe, alors elle contient l'élément neutre. Donc e appartient dans xH, donc x-1 appartient à H. Et comme xH = H = Hx, xHx-1=H donc ce sont les classes modulo un sous groupe distingué.

Merci.

Posté par
Arthur68329
re : Classes d'un groupe 26-09-23 à 15:44

J'ai oublié :

J'aurais plutôt dis : Si une classe est un sous groupe, alors elle contient l'élément neutre. Donc e appartient dans xH, donc x-1appartient à H. Donc x appartient à H
Et comme xH = H = Hx, xHx-1=H donc ce sont les classes modulo un sous groupe distingué.

Posté par
lionel52
re : Classes d'un groupe 26-09-23 à 16:05

e n'appartient pas à toutes les classes donc il n'y a aucune raison que pour tout x,  xHx-1=H


Par ailleurs, xH = x'H = x"H avec x',x'' pris quelconque dans xH
Donc si e est dans une classe xH, ben cette classe s'écrit eH = H

Posté par
Arthur68329
re : Classes d'un groupe 26-09-23 à 16:22

D'accord je vois mon erreur, mais pourquoi n'est il pas question des classes d'équivalences modulo un sous groupe distingué ?

Posté par
lionel52
re : Classes d'un groupe 26-09-23 à 16:24

Pourquoi H serait distingué?
Comme je t'ai dit, xHx^-1 ne vaut pas toujours H

Posté par
Arthur68329
re : Classes d'un groupe 26-09-23 à 17:27

Simplement je pensais que les seuls ensembles quotients conservant la structure de groupe étaient ceux modulo un sous groupe distingué. Je vois que je me trompais, merci.

Posté par
GBZM
re : Classes d'un groupe 26-09-23 à 18:04

Bonjour,
Il semble qu'il y ait du flou dans ta vision des classes modulo un sous-groupe.
Déjà, il n'y a pas une seule relation d'équivalence associée à un sous-groupe H, mais deux : pour l'une la classe de x est la classe de gauche xH, pour l'autre la classe de x est la classe à droite Hx. Les classes à gauche coïncident avec les classes à droite si et seulement si H est distingué.
Si H n'est pas distingué, ni l'ensemble des classes à gauche (quotient pour la première relation d'équivalence) ni l'ensemble des classes à droite (quotient pour la deuxième relation d'équivalence) n'héritent d'une structure de groupe (la loi de composition ne passe pas au quotient). Ce n'est que si H est distingué qu'elle passe au quotient.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1673 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !