J'ai oublié :

J'aurais plutôt dis : Si une classe est un sous groupe, alors elle contient l'élément neutre. Donc e appartient dans xH, donc x^-1appartient à H. Donc x appartient à H
Et comme xH = H = Hx, xHx^-1=H donc ce sont les classes modulo un sous groupe distingué.

e n'appartient pas à toutes les classes donc il n'y a aucune raison que pour tout x,  xHx-1=H


Par ailleurs, xH = x'H = x"H avec x',x'' pris quelconque dans xH
Donc si e est dans une classe xH, ben cette classe s'écrit eH = H

D'accord je vois mon erreur, mais pourquoi n'est il pas question des classes d'équivalences modulo un sous groupe distingué ?

Pourquoi H serait distingué?
Comme je t'ai dit, xHx^-1 ne vaut pas toujours H

Simplement je pensais que les seuls ensembles quotients conservant la structure de groupe étaient ceux modulo un sous groupe distingué. Je vois que je me trompais, merci.

Bonjour,
Il semble qu'il y ait du flou dans ta vision des classes modulo un sous-groupe.
Déjà, il n'y a pas une seule relation d'équivalence associée à un sous-groupe H, mais deux : pour l'une la classe de x est la classe de gauche xH, pour l'autre la classe de x est la classe à droite Hx. Les classes à gauche coïncident avec les classes à droite si et seulement si H est distingué.
Si H n'est pas distingué, ni l'ensemble des classes à gauche (quotient pour la première relation d'équivalence) ni l'ensemble des classes à droite (quotient pour la deuxième relation d'équivalence) n'héritent d'une structure de groupe (la loi de composition ne passe pas au quotient). Ce n'est que si H est distingué qu'elle passe au quotient.