Bonjour.

S'il existe x appartenant à l'intersection de ces noyaux, alors en composant par x, il vient :
₁x=₂x
Et donc x=0 car les deux racines sont distinctes.
Donc l'intersection est réduite au singleton {0}.

oula oui merci, j'étais partie bien trop loin...

on suppose ensuite que Ker(u - 1id) = {0}

il faut justifier que A-1I2 est inversible, je montre que le déterminant est différent de 0 ?

et en déduire à l'aide du polynôme annulateur que A=2I2

A - 1 I2 est inversible car det(A - 1 I2) = ad - 1a
- 1d + 1² - bc 0
car 1 0 en utilisant la supposition ?

c'est bon ?

ensuite je n'arrive pas à en déduire (à l'aide du polynôme annulateur) que A=2I2

Pas besoin de calcul pour montrer l'inversibilité.
Ker(u-₁id)={0} donc u-₁id est injectif, et puisque c'est un endomorphisme en dimension finie alors injectif équivaut à bijectif et donc u-¹id est bijectif, donc sa matrice associée A-₁I₂ est inversible.

Et après en fait il est bon de remarquer que pour tout ,
det(A-I₂)
=(a-)(d-)-bc
=ad-bc + ² - (a+d)
=² -(a+d) + ad-bc
=² - Tr(A) + det(A)
Et on reconnaît qui ? P()
Donc :
det(A-I₂)=P()
Et  si ₁ est racine de P, alors :
P(₁)=det(A-₁I)=0 ce qui est contraire à l'hypothèse.

Du coup l'énoncé tel que tu nous le donnes est mal formulé. Car il y a une contradiction entre 1 racine de P et (A-1I) inversible.
Si on a vraiment (A-I) inversible, alors c'est que 1 n'est pas racine de P, ou alors racine de multiplicité 0.
Et si on dit que les racines de P sont parmi 1 et 2, alors il ne reste que 2 comme racine.
Et comme tu l'as dit au début, on a alors A semblable à diag(2,2), donc il existe Q inversible telle que :
A=(Q^-1)(₂I)Q
=₂I

merci beaucoup vos explications sont très claires!

l'énoncé est correct, seulement je n'ai pas mis la suite de la question : conclure à une absurdité en utilisant la trace.

juste comment peut-on savoir qu'il existe un Q inversible telle que A=(Q^-1)(2I)Q
=2I

C'est la définition d'être semblable à ₂I.

oui mais je ne vois pas en quoi ce que nous faisons avant nous montre qua A est semblable à 2I

Rien. Du coup y a un truc qui n'a pas été dit dans l'énoncé :p