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CNS pour factoriser un endomorphisme
Bonsoir,
Soient des espaces vectoriels de dimension finie,
une application linéaire de
dans
et
une application linéaire de
dans
.
Je cherche une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe de
dans
telle que
.
Comme condition nécessaire j'ai mais j'ai du mal à montrer qu'elle est suffisante (je ne suis même pas sûr que ça soit le cas en fait).
salut
il doit y avoir aussi Im v = Im w ...
si z = w(x) avec x dans E et z dans G
alors z = v o u (x) = v [u(x)] ...
Bonjour 
Je présume que l'on veut que v soit linéaire.
Une application linéaire est connue dès lors quelle est connue sur une base.
Donc il suffit de connaître l'image par w d'une base de E, celle-ci doit être la même que par v o u.
Il est donc nécessaire que dim (Im(u)) 
dim(Im(w))
Cela me semble suffisant. Car pour passer de F dans G, j'ai assez de vecteurs dans l'image de u pour reconstituer l'image de w par v.
Merci jsvdb et carpediem pour vos réponses, effectivement j'aurai dû le préciser pour la linéarité de v.
C'est très clair à présent.
Bonjour,
Ce n'était pas très clair dans les réponses qui t'on été faites, mais la condition que tu donnes dans ton message : est effectivement une condition nécessaire et suffisante pour l'existence d'une application linéaire
telle que
.
Elle est clairement nécessaire. Et si cette condition est réalisée, alors est bien définie sur l'image de
par
(on n'a pas le choix !) et étendue ensuite à
tiut entier en prenant n'importe quelle application linéaire d'un supplémentaire dans
de l'image de
à valeurs dans
(par exemple, l'application nulle).
Il n'y a aucune raison d'avoir , et la condition
n'est pas suffisante.
merci GBZM tu as raison, tu as dis ce que je voulais dire et je me suis fourvoyé en voulant écrire de façon concise Im v = Im w : pour construire v il faut ensuite s'imposer v(u(x))=w(x)
En fait il n'est pas besoin d'être en dimension finie à condition de savoir que tout sous-espace admet un supplémentaire.
Je ne vois toujours pas...
Si je me donne une base de
et que je considère
les antécédents par u des
, et que je définis
par
,
est bien définie, mais je n'ai l'égalité
que sur une famille libre de E, ce qui n'est pas suffisant
Il n'y a aucunement besoin de choisir une base.
Je reprends ce que j'ai écrit en détaillant plus.
Soit . On veut définir
. Pour cela on choisit
tel que
et on pose
(normal, on veut
).
Il faut
1°) vérifier que est bien défini et ne dépend pas du choix de
: si
est aussi tel que
, a-t-on
?
2°) vérifier que est linéaire sur
.
Bonjour BlackBird !
Il faut connaître (s'il n'est pas dans ton cours, demande) le résultat important :
Si et
un supplémentaire de
, la restriction de
à
est un isomorphisme de
sur
.
On note .
En notant l'isomorphisme réciproque (c'est à dire
) tu prends pour restriction de
à
l'application
et pour restriction à
une application linéaire quelconque
.
Alors, pour tu as
et pour tu as
car
.
Tu montres ainsi que et
coïncident sur deux supplémentaires de
, ce qui suffit.
Bonjour luzak,
Pas trop d'accord avec toi. On n'a vraiment pas besoin ici de l'isomorphisme d'un supplémentaire du noyau de avec l'image de
pour définir
sur l'image de
: il suffit de vérifier que
définit bien
sur l'image de
grâce à l'hypothèse
.
D'ailleurs on peut faire exactement le même raisonnement dans le cas par exemple de morphismes de groupes et
, avec
surjectif :
est une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un morphisme de groupe
tel que
. Et il n'est pas question ici de remonter à un "supplémentaire du noyau" !
L'endroit où il faut vraiment faire intervenir un supplémentaire, c'est pour montrer qu'une application linéaire quelconque de dans
s'étend en une application linéaire
.
@ GBZM
Je suis évidemment convaincu par ton approche mais
1. Le résultat que j'utilise est important, surtout depuis qu'on ne parle plus des structures quotients
2. Je ne vois pas comment faire pour les groupes quand on veut factoriser à droite ? Supposer injectif ? Cela fait un peu simpliste !
Pour les espaces vectoriels la même démarche par restriction à un supplémentaire permet de caractériser la possibilité de factoriser à droite sans trop de soucis...
1) Il est certes utile dans certains contextes, mais le faire intervenir ici ne me semble pas une bonne idée.
2) Pour les groupes, j'ai parlé ci-dessus du cas surjectif uniquement. Dualement, si on veut
, on va bien sûr considérer le cas
injectif.
Comme je l'ai déjà écrit, ce n'est qu'après qu'intervient vraiment le rôle des supplémentaires : quand on a un sous-espace vectoriel et qu'il s'agit d'étendre une application linéaire
en une application linéaire
. Ou alors dualement quand on a une application linéaire surjective
et qu'il s'agit de remonter une application linéaire
en une application linéaire
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