Bonjour à tous, je suis bloqué sur un exercice. Pourreriez-vous m'aider svp. Merci d'avance

Enoncé:
Le code-barre de nombreux produits est constitué de 13 chiffres. Les douze premiers permettent d'identifier le produit. Le 13° chiffre est une clé de controle qui permet de détecter une éventuelle erreur dans les 12 chiffres d'identification.
Cette clé est calculée sur les 12 chiffres précédents selon l'algorithme suivant :
A<-- somme des termes de rang pair
B<-- somme des termes de rang impair
S<-- +3*A+B
R<-- reste de la division euclidienne de S par 10
C<-- 10-R si R est différent de 0, 0 sinon
Afficher la clé C.
Partie A:
Déterminer les clés de contrôle des deux codes suivants :
497185018782
j'ai trouvé : C=7
978204732850
j'ai trouvé : C=7
Partie B:
On note a1,a2...a12 les douze premiers chiffres du code-barre, S la somme utilisée dans le calcul de la clé avec le bon code et S' cette même somme avec un code comportant au moins une erreur.
1. On suppose qu'on a fait une erreur sur ele chiffre a1. Notons b1 le chiffre qui s'est substitué à a1.
a. Démontrer que -9b1-a19
Je suis bloqué sur cette question, je ne la comprend pas
b. Calculer S-S'
Je ne sais pas comment faire puisque je n'arrive pas à savoir ce qu'est S' (à quoi elle est égale).
c. On note R et R' les restes de la division euclidienne de S et S' par 10 et on note q et q' les quotients de ces divisions.
Démontrer que : R=R' <=> b1-a1=10(q'-q).
Je n'y comprend rien non plus
d. En déduire que l'erreur est détectée.
Je ne peux pas la trouver.
2. On suppose qu'on a fait une erreur sur le chiffre a2. Notons b2 le chiffre qui s'est substitué à a2.
a. Donner un encadrement de b2-a2 et calculer S-S'.  Puis démontrer que R=R' <=> 3(b2-a2)=10(q'-q)
b. En déduire l'erreur détecter.
3. Donner un exemple montrant que, lorsque deux erreurs sont commises, elles ne seront pas nécessairement détectées.

En résumé je suis bloqué sur tout l'exercice.
Svp, aidez moi ... J'ai vraiment tout essayer pour ce dm et je n'y arrive vraiment pas...