Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Coefficient de fourier

Posté par
loicligue 18-05-22 à 16:44

Bonjour !

Pouvez vous me dire pourquoi $C_n(f') = inC_n(f)$ avec $C_n$ le coefficient de fourier d'une certaine fonction f.

Ce que l'on suppose : f est dérivable et 2- $\pi$ périodique.

De mon côté j'ai :

$C_n(f') = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f'(t)e^{-int}$ .

On fait une IPP et on obtient : $C_n(f') = f(\pi)e^{-in\pi} - f(-\pi)e^{in\pi} + in C_n(f)$

On utilise le fait que f est 2- $\pi$ périodique et on peut donc factoriser de la manière suivante : $C_n(f') = f(\pi) * (-2cos(n\pi)) + inC_n(f)$ mais pourquoi $f(\pi) * (-2cos(n\pi)) = 0$ ?

PS : dans l'énoncé f n'est pas explicité donc f(\pi) n'est pas connu !

Voyez vous l'erreur/astuce ?

Merci pour votre aide,

Loic

Posté par re : Coefficient de fourier 18-05-22 à 17:06

Bonjour,

On a tout simplement $e^{in\pi}-e^{-in\pi}=0$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$ (expliciter les exponentielles ).
Je ne vois pas d'où sort le $-2cos (n\pi)$

Posté par re : Coefficient de fourier 18-05-22 à 17:16

L'IPP donne : $C_n(f') = [f(t)e^{-int}}]_{-\pi}^{\pi} + inC_n(f)$ ... Comment te débarrasses-tu des $f(\pi) et f(-\pi)$ alors?

Posté par re : Coefficient de fourier 18-05-22 à 17:20

Il fallait factorisé par $-f(-\pi)$ tout simplement... Je retrouve bien du $sin(n\pi)$ qui est bien égal à 0 pour tout n entier naturel.

Merci !

Posté par re : Coefficient de fourier 18-05-22 à 17:20

factoriser*

Posté par re : Coefficient de fourier 18-05-22 à 17:24

Oui, et les cosinus disparaissent .

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