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Coefficient Fourier

Posté par
martizic
02-01-24 à 16:32

Bonjour,
J'ai une petite question par rapport aux coefficients d'une série de Fourier.

Voici mon ennoncé :

Calculer la série de Fourier trigonométrique de la fonction 2-π périodique f : ℝ → ℝ telle que f(x) = π - |x|, lorsque x ∈ ]-π, π]

Voici ce que j'ai effectué :

f est paire donc :
- bn = 0
- an = \frac{2}{\pi }\times \int_{0}^{\pi }{f(t)cos(nt)dt}, n\geq 0

Après calculs, j'ai trouvé que an = \frac{2}{\pi}\times \int_{0}^{\pi}{(\pi - |x|)\times cos(nx)\: dx}  =
\frac{2}{\pi} \times (\frac{1 + (-1)^{n+1}}{n^2}).

Or, maintenant, je souhaites calculer a0.
Mon professeur m'a donné la formule suivante :
a0 = \frac{1}{T}\times \int_{0}^{T}{f(t)\: dt} \; = \; \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{f(t) \: dt} \; = \; \frac{2}{2\pi} \int_{0}^{\pi}{(\pi - |t|) \: dt} \; = \; \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi}{(\pi - t) \: dt} = \frac{\pi}{2}

Or, si l'on reprends la formule an : \frac{2}{\pi}\times \int_{0}^{\pi}{(\pi - |x|)\times cos(nx)\: dx}, on trouve que a0 = \frac{2}{\pi}\times \int_{0}^{\pi}{(\pi - x)\: dx} \; = \;\pi

Pourquoi est-ce que j'obtiens deux résultats différents pour a0 ? Lequel est le bon svp?

Posté par
MattZolotarev
re : Coefficient Fourier 02-01-24 à 16:51

Bonjour,

la série de Fourier associée à la fonction f peut s'écrire de deux manières :

F(x)=\underset{n=-\infty}{\overset{+\infty}{\sum}}c_n\exp(\mathrm{i}x), avec
pour tout n\in\mathbb{Z}, c_n=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\exp(-\mathrm{i}t)\mathrm{dt},

OU

F(x)=\underset{n=0}{\overset{+\infty}{\sum}}a_n\cos(nx)+\underset{n=1}{\overset{+\infty}{\sum}}b_n\cos(nx), avec
pour tout n\in\mathbb{N}, a_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\mathrm{dt} et pour tout n\in\mathbb{N}^*, b_n=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\mathrm{dt}.

A noter que de manière générale (est c'est de là que vient la confusion ici) : c_0=\dfrac{a_0}{2}

La formule que t'a donné, selon toi, ton professeur, est la formule permettant de calculer c_0, pas a_0.
Quand tu fais ton deuxième calcul, tu utilises cette fois-ci la bonne formule, c'est-à-dire celle permettant de calculer a_0.

(Note que tu trouves du coup aussi que c_0=\dfrac{a_0}{2}, ouf !

Posté par
phyelec78
re : Coefficient Fourier 02-01-24 à 17:11

Bonjour,

je ne trouve pas tout à fait comme vous pour a_n.

Sauf erreur de ma part,pour n impair je trouve 0 et pour n pair je trouve  a_n=\dfrac 4{\pi n^2}

Posté par
martizic
re : Coefficient Fourier 02-01-24 à 17:11

Bonjour,
Merci de votre aide ! Donc, si je vous ai bien suivis, a0 est égal à π ?

Or, sur le site de Bibmath (https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./f/fourierserie.html#:~:text=On%20appelle%20coefficients%20de%20Fourier,dt%2C%20n%E2%88%88Z.), il y a écrit que :

"Les coefficients de Fourier trigonométriques sont eux définis par :
a_{0}(f) = \frac{1}{2\pi} \times \int_{0}^{2\pi}{f(t)}\: dt "

Ceci est la même formule que celle donnée par mon prof de maths... Et c'est bien pour a0, pas c0...

Je suis encore un peu confus, qu'en pensez-vous?

Posté par
martizic
re : Coefficient Fourier 02-01-24 à 17:18

Je pense avoir compris mon problème... voici ce que j'ai trouvé sur la page des séries de Fourier de Wikipédia. Cela dépendrait de la "convention"

PS : désolé pour la photo mais il me semblait long et peu utile de tout recopier, et une capture d'écran prouve que c'est bien Wikipédia.

Coefficient Fourier

Posté par
MattZolotarev
re : Coefficient Fourier 02-01-24 à 17:23

J'en pense que d'une référence à l'autre, les notations ne sont pas les mêmes, ce qui n'est pas pour rendre service aux étudiants qui veulent étudier les séries de Fourier...

Dans le site que tu m'as donné, on voit bien que c_0=a_0 selon leurs notations, mais que si j'utilisais l'expression donnée pour a_n avec n\geqslant 1 en remplaçant n par 0, on trouverait du coup c_0 et non pas a_0.

Si tu veux conserver la notation de Bibmath et de, semble-t-il, ton professeur, alors la première formule que tu donnes pour calculer les a_n ne sont valables que pour n\geqslant 1; et donc tu ne peux pas calculer a_0 avec celle-ci.

Posté par
MattZolotarev
re : Coefficient Fourier 02-01-24 à 17:27

Désolé pour le double post, je viens de voir ton inser avec la page wikipedia.

La version dite "alternative" me semble nettement plus naturelle et je ne comprends vraiment pas que l'on enseigne une notation qui porte à confusion comme ça... Mais bon !

Posté par
martizic
re : Coefficient Fourier 02-01-24 à 17:31

Merci pour votre aide! J'avoue être très confus par ces différentes notations... je reprendrais mon exercice demain en  ayant laisser ma tête refroidir un peu



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