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Niveau autre
Coefficient polynomiaux de Bézout
Posté par Magmaul
Bonjour,
J'ai des doutes sur mon raisonnement dans l'exercice suivant :
(𝕂 = ℝ ou ℂ)
Soit (A,B,U,V)∈(𝕂[X])⁴, A et B fixés, tels que AU+BV = 1 avec deg(U) < deg(B) et deg(V) < deg(A)
Montrer alors que le couple (U,V) est unique.
Voici mon raisonnement :
Soit (A,B,U,V)∈(𝕂[X])⁴, A et B fixés, tels que AU+BV = 1 avec deg(U) < deg(B) et deg(V) < deg(A)
On pose dans (𝕂[X])² l'équation (E) : AU+BV = 1, où U et V sont les inconnues.
On pose (U₀,V₀) une solution particulière de (E). On a alors AU₀+BV₀ = 1
Par différence des deux équations, on obtient A(U-U₀)+B(V-V₀) = 0
D'où A(U-U₀) = -B(V-V₀) ⇒ B|A(U-U₀)
Or A et B sont premiers entre eux, d'où B|U-U₀ ⇒ U-U₀ = BP avec P∈𝕂[X]
Or deg(U-U₀) = deg(BP)
Et deg(U₀) = deg(U) ⇒ deg(U-U₀) ≤ deg(U)
D'où, deg(U-U₀) < deg(B) ⇒ deg(BP) < deg(B) ⇒ deg(B)+deg(P) < deg(B) ⇒ deg(P) < 0 ⇒ deg(P) = -∞
Donc P = 0 ⇒ BP = 0 ⇒ U-U₀ = 0 ⇒ U = U₀
On fait de même avec V-V₀ et A
Donc V = V₀
Donc l'unique couple solution de (E) dans (𝕂[X])² est (U₀,V₀)
Donc le couple (U,V) est unique.
Est-ce que cela est au moins correct dans l'idée ?
Merci d'avance !
Hello !
Tu as compris la démarche mais y a quelques petites erreurs légères.
1) Tu veux montrer que le couple (U,V) est unique, sauf que tu choisis comme simple solution de (E). Non, tu as la condition supplémentaire de l'énoncé
et
2) Il n'y a aucune raison que et
aient le même degré!
3) Rappelle quand même que tu utilises le théorème de Gauss à un moment parce que "Or A et B sont premiers entre eux, d'où B|U-U₀ ⇒ U-U₀ = BP avec P∈𝕂[X] " n'est pas direct.
4) Du coup on est d'accord :
5) Pas obligé de "On fait de même avec V-V₀ et A"
Tu as l'égalité 0 = A(U-U₀) = -B(V-V₀) d'où ce qui suit !
Bonjour lionel
1) Ah oui en effet, j'avais oublié !
2) Du coup mon erreur quand à deg(U) = deg(U₀) était dûe à l'oubli du 1), et justement je me demandais déjà avant si c'était vraiment le cas, mais bon il se trouve que j'ai la réponse maintenant, merci 
3) D'accord je vois, je vais donc mentionner le lemme de Gauss dans ma démonstration.
4) Et oui du coup là c'est bon
5) Ah ben oui du coup -B(V-V₀) = 0, or 𝕂[X] est intègre et -B ≠ 0, donc -B(V-V₀) = 0 ⇒ V-V₀ = 0 ⇒ V = V₀
Merci pour tout !