Niveau maths spé

Coefficients du polynôme caractéristique

Posté par
ZiYun 29-10-17 à 11:47

Bonjour,

J'essaye de déterminer les coefficients du polynôme caractéristique d'une matrice carrée, mais je trouve quelques difficultés. L'exercice énonce que les coefficients sont les mineurs principaux d'ordre k. J'espère que vous pourrez m'aider à traverser les difficultés que je rencontre.

Soit A une matrice carrée d'ordre n.
Le polynôme caractéristique de A est : $\chi _{A}=det(XI_{n}-A)$
Si on écrit $A=(C_{1}...C_{n})$ où les C_i sont les vecteurs colonnes de A, et $(E_{i})_{i=1,...,n}$ la base canonique de M_n,1(K)
Alors : $\chi _{A}=det(XE_{1}-C_{1},...,XE_{n}-C_{n})$ qui après développement est égal à :
$\chi _{A}=X^{n}-Tr(A)X^{n-1}+\sum_{i=2}^{n-2}{(-1)^{n+k}\lambda _{k}X^{k}} +(-1)^{n+1}X\sum_{i=1}^{n}{det(C_{1},...,C_{i-1},E_{i},C_{i+1},...,C_{n}}) +(-1)^{n}det(A)$
où $\lambda _{k}=\sum_{1\leq i_{1}\prec ...\prec i_{k}\leq n}^{n}{det(C1,...,E_{i_{1}}},......,E_{i_{k}},....,C_{n})$
En développant selon les i_j colonnes pour j de 1 à k , on obtient bien un mineur principal d'ordre k mais ce ne sont pas les mineurs principaux de la matrice A car il manque ses coefficients non ?

J'espère que vous pourrez m'aider à résoudre cet exercice et mieux comprendre cette notion de mineur principal.

Merci d'avance

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